Re: [obm-l] Olimpiada Universitaria

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Olimpiada Universitaria

Oi, Danilo:

Mancada minha! O meu caso limite f(0) = f'(0) = f'(1) = 0 nao era caso limite coisa nenhuma.

O caso limite eh quando as tangentes ao grafico de f em b e c sao verticais (e nesse caso, f nao eh de classe C^1 mas, como eu disse, eh apenas o caso limite e nao necessariamente um caso valido).

De qualquer forma, a ideia mais simples que eu tive pra interpolar uma funcao crescente no intervalo [b,c] que estenda f a uma funcao de classe C^1 eh usar dois arcos de circunferencia e um segmnento de reta ou dois segmentos de reta e um arco de circunferencia.

Mais precisamente, tomamos a reta Rb, passando por (b,f(b)) e com inclinacao f'(b), e a reta Rc, passando por (c,f(c)) e com inclinacao f'(c).

Se Rb e Rc se intersectam num ponto com abscissa entre b e c, entao usamos dois segmentos (um pertencente a cada reta) e o arco de alguma circunferencia tangente a Ra e Rb, de modo que os pontos de tangencia tambem tenham abscissas entre b e c.

Caso contrario, usamos dois arcos de circunferencia (um contendo (b,f(b)) e o outro (c,f(c)) ) e unimos esses arcos por um segmento de reta apropriado tangente a cada um deles.

Se Rc intersecta a reta x = b num ponto acima de (b,f(b)) (ou seja, com ordenada superior a f(b)), entao o arco por (b,f(b)) eh convexo (representa uma funcao crescente) e o arco por (c,f(c0) eh concavo. Caso contrario, o arco por (b,f(b)) eh concavo e o arco por (c,f(c)) eh convexo.
Esse eh o caso do seu contra-exemplo abaixo.

[]s,
Claudio.


on 09.06.04 15:48, Danilo notes at dantas20102001@yahoo.com.br wrote:

"Eu provei que, se f(b) < f(c), f'(b) >= 0 e f'(c) >= 0, entao o polinomio tem automaticamente derivada positiva em todo o intervalo (b,c)."
 Contra - exemplo:

 Sejam   [ b , c ]  =  [ 6/5 ,  4 ]  e  p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6

p( 6/5) < p( 4 )  , p´(6/5) > 0 , p' ( 4) > 0  mas p' (11/ 5 ) < 0 .


 Abs.



Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br> wrote:

on 08.06.04 20:52, Danilo notes at dantas20102001@yahoo.com.br wrote:

Acho que vc não entendeu minha pergunta Claudio, o que eu estava querendo dizer é que aquela forma que vc utilizou para fazer a extensão da f não funciona de uma forma geral. Se for sempre possivel  definir uma infinidade de funcões polinomiais de grau 3, uma em cada "brecha" do dominio de f , então deve existir uma formula  geral para elas  concorda?

Sem duvida. Em cada intervalo (b,c) do complementar do dominio de f em relacao a R (ou seja, o que eu chamei de brecha), os 4 coeficientes do polinomio interpolador serao funcoes dos valores de f(b), f'(b), f(c) e f'(c).

Mas se existe, então que formula é essa?  

Eh soh resolver um sistema linear 4x4 para determinar os coeficientes do polinomio interpolador. Eu provei que, se f(b) < f(c), f'(b) >= 0 e f'(c) >= 0, entao o polinomio tem automaticamente derivada positiva em todo o intervalo (b,c).

Ficar adivinhando um polinomio de grau 3 que pode ser definido em! cada brecha certamente não é a melhor forma de resolver esse problema.

Nao se trata de adivinhar, mas sim de calcular os coeficientes.

O que eu fiz foi provar que, nas condicoes do enunciado, pode-se interpolar uma funcao polinomial de grau 3 em cada uma das brechas do dominio de f (o qual eh uma uniao de intervalos dois a dois disjuntos) de forma que f seja estendida a uma funcao G de classe C1 em toda a reta. Achar a formula para os coeficientes eh meramente uma questao computacional (bem trivial, alias).

Por exemplo, não seria possivel fazer a extensão da função f definida abaixo utilizando sempre aquele polinomio que vc definiu.
Considere
f(x) = x+1   se  0=< x =< 2 ,   f (x)= x+2    se  3 =< x =< 4   e  
f(x) = x^2 +1 se x >= 5.

Por que nao?  f(2) < f(3), f(4) < f(5) e f'(x) > 0 para x = 2, 3, 4 e 5.
Logo, as condicoes sao obedecidas e poderemos! estender f a uma funcao de classe C^1 em [0,+infinito) interpolando funcoes polinomiais de grau 3 em [2,3] e [4,5].
Em [5,+infinito), basta estender f atraves da funcao p(x) = 10x - 24.

[]s,
Claudio.

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