Re: [obm-l] Olimpiada Universitaria

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Olimpiada Universitaria

on 08.06.04 20:52, Danilo notes at dantas20102001@yahoo.com.br wrote:

> Acho que vc não entendeu minha pergunta Claudio, o que eu estava querendo dizer é que aquela forma que vc utilizou para fazer a extensão da f não funciona de uma forma geral. Se for sempre possivel  definir uma infinidade de funcões polinomiais de grau 3, uma em cada "brecha" do dominio de f , então deve existir uma formula  geral para elas  concorda? 
>
> Sem duvida. Em cada intervalo (b,c) do complementar do dominio de f em relacao a R (ou seja, o que eu chamei de brecha), os 4 coeficientes do polinomio interpolador serao funcoes dos valores de f(b), f'(b), f(c) e f'(c).
>
> Mas se existe, então que formula é essa?  
>
> Eh soh resolver um sistema linear 4x4 para determinar os coeficientes do polinomio interpolador. Eu provei que, se f(b) < f(c), f'(b) >= 0 e f'(c) >= 0, entao o polinomio tem automaticamente derivada positiva em todo o intervalo (b,c).
>
> Ficar adivinhando um polinomio de grau 3 que pode ser definido em cada brecha certamente não é a melhor forma de resolver esse problema. 
>
> Nao se trata de adivinhar, mas sim de calcular os coeficientes.
>
> O que eu fiz foi provar que, nas condicoes do enunciado, pode-se interpolar uma funcao polinomial de grau 3 em cada uma das brechas do dominio de f (o qual eh uma uniao de intervalos dois a dois disjuntos) de forma que f seja estendida a uma funcao G de classe C1 em toda a reta. Achar a formula para os coeficientes eh meramente uma questao computacional (bem trivial, alias).
>
> Por exemplo, não seria possivel fazer a extensão da função f definida abaixo utilizando sempre aquele polinomio que vc definiu.
> Considere 
> f(x) = x+1   se  0=< x =< 2 ,   f (x)= x+2    se  3 =< x =< 4   e  
> f(x) = x^2 +1 se x >= 5.
>
> Por que nao?  f(2) < f(3), f(4) < f(5) e f'(x) > 0 para x = 2, 3, 4 e 5.
> Logo, as condicoes sao obedecidas e poderemos estender f a uma funcao de classe C^1 em [0,+infinito) interpolando funcoes polinomiais de grau 3 em [2,3] e [4,5].
> Em [5,+infinito), basta estender f atraves da funcao p(x) = 10x - 24.
>
> []s,
> Claudio.