[obm-l] Analise contraintuitiva II

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Nas minha tentativas de colocar o T. de Baire na massa do meu sangue,
verifiquei um fato para mim um tanto contraintuitivo: Se D eh um subconjunto
magro e denso em R, entao naum hah funcao f:R->R continua exclusivamente nos
elementos de D. Ateh aih, naoum me parece contraintuitivo. Mas,
intuitivamente (para mim), esta conclusao torna-se ainda mais forte se
relaxarmos a hipotese de que D seja denso. Mas eh o contrario. Sendo [x] o
piso de x, entao f dada  por 
f(x) = minimo{x- [x] , [x]+1 -x} se x for racional
f(x) = 0 se x for irracional
eh continua exatamente nos numeros inteiros, que sao enumeraveis, logo um
conjunto magro, e nao sao densos em R.

Isto eh um caso particular de uma conclusao a que cheguei e que me parece
correta: se X eh um espaco metrico, F e um subconjunto fechado de X  e D eh
um conjunto denso em X tal que seu complementar D' tambem seja denso, entao
a f dada por 
f(x) = distancia(x,F) se x pertence a D
     = 0 se x pertence a D'
eh continua nos elementos de F e descontinua nos demais elementos de X.
(na realidade, esta conclusao naum tem nada a ver com o T. de Baire)
A distancia de um ponto x a um conjunto F eh dada por d(x,F) = infimo{d(x,y)
: y pertence a F}, sendo d a metrica definida em X.
Artur
A distancia de x

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