Re: [obm-l] Cosseno nao eh polinomio (2)

["Osvaldo" <1osv1@xxxxxxxxxx>]

Okay!, valeu, entendi.


> Oi, Osvaldo:
> 
> A solucao que eu tinha em mente usa o fato de que a 
derivada (n+1)-esima de
> uma funcao polinomial de grau n eh a funcao 
identicamente nula e obtem uma
> contradicao a partir disso, pois as derivadas de 
ordem superior da funcao
> cosseno nunca sao identicamente nulas.
> 
> De uma olhada na solucao do Fabio.
> 
> Por outro lado, acho que o caminho que voce tomou 
eventualmente chega lah,
> mas a algebra pode ficar meio enrolada, com voce deve 
ter percebido. Alem
> disso, ha um erro no coeficiente de x^1 do lado 
esquerdo, o qual deveria ser
> 4*a_1*a_2 + 2*a_1*a_0 = 2*a_1*(2*a_2 + a_0).
> 
> Uma forma melhor eh comecar supondo que cos(x) seja 
um polinomio de grau n.
> Claramente, n >= 1, pois cos(x) nao eh constante.
> Nesse caso, expandindo cos^2(x) + sen^2(x), obtemos 
que o coeficiente de
> x^(2n) serah igual a a_n^2.
> Mas cos^2(x) + sen^2(x) = 1. Logo, a_n^2 = 0 ==>
> a_n = 0 ==> 
> cos(x) tem grau no maximo (n-1) ==>
> contradicao ==>
> cos(x) nao pode ser um polinomio.
> 
> []s,
> Claudio.
> 
> on 01.06.04 01:35, Osvaldo at 1osv1@bol.com.br wrote:
> 
> > Eu tentei, mas acho que errei em algum lugar. Por 
favor
> > encontrem meu erro!
> > 
> > Vou supor que cos possa ser escrito como um 
polinomio.
> > cos x = a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n; a_i reais nao
> > simultaneamente nulos.
> > 
> > Derivando vem que cos'x = sen x =
> > a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)
> > 
> > Da identidade cos^2(x)+sen^2(x)=1 vem:
> > 
> > [a_1+2.a_2.x+...+n.a_n.x^(n-1)]^2+
> > [a_0+a_1.x+a_2.x^2+...+a_n.x^n]^2 = 1
> >
> > Logo, temos que 
> > a_1^2+a_0^2=1 (*)
> > 4.a_2^2+a_1^2=0
> > .
> > .
> > .
> > 
> > n^2.a_(n-1)^2+a_n^2=0
> > 
> > Mais 4.a_2^2+a_1^2=0 em R somente se a_2 e a_1 são
> > ambos nulos. logo a_1=0 (**)
> > 
> > Substituindo ** em * eu vejo que a_0^2 deve ser 1 e
> > logo que a_0 é 1.
> > 
> > Acho que isso é uma contradiçao, pois x varre o
> > intervalo [a,b] e a!=b. Se assim o for está provado,
> > mais acho que devo ter errado em algum lugar, se
> > puderem me enviem o erro. Até
> > 
> >> Uma versao um pouco mais dificil:
> >> 
> >> Sejam a e b numeros reais com a < b.
> >> Prove que F:[a,b] -> R dada por F(x) = cos(x)
> >> nao eh uma funcao polinomial.
> >> 
> >> Dessa vez o argumento de infinitas raizes nao se
> > aplica...
> >> 
> >> []s,
> >> Claudio.
> >> 
> >> 
> 
> 
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar 
a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> 
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> 

Atenciosamente,

Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
Osvaldo Mello Sponquiado 
Usuário de GNU/Linux


 
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Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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