On Mon, May 24, 2004 at 11:46:37PM -0400, Faelccmm@aol.com wrote:
> Pegando um gancho:
>
> De todos os conceitos matematicos de Ensino Medio, os unicos que ate agora eu
> nao vejo contextualizacao sao *determinantes* e *numeros complexos*. Sei que
> ambos estao presentes na historia da criacao dos computadores, por exemplo,
> mas nao consigo imaginar uma situacao-problema em que seja necessario
> utilizar estes 2 conceitos. Todos os outros conceitos de matematica de Ensino
> Medio sao facilmente contextualizados, mas estes 2 sao um *estranho no ninho*
> da matematica de Ensino Medio. E para piorar, muitos livros definem
> *determinante* como um numero associado a uma matriz (Grande definicao !
> Ironicamente falando :-)
Muita gente mandou respostas boas (enquanto eu estava ocupado demais
para responder) explicando algumas das aplicações mais clássicas e
conhecidas destes tópicos. Eu queria dizer que se você procurar nos
arquivos da lista encontrará várias outras mais surpreendentes.
Determinantes, por exemplo, são usados em alguns problemas de combinatória.
Para contar de quantas maneiras é possível cobrir um tabuleiro quadriculado
com dominós (retângulos 2x1 ou 1x2) você pode fazer o seguinte
(este método é devido a Kasteleyn).
Primeiro pinte as casas alternadamente de vermelho e azul.
Numere as casas de cada cor; se o número de casas vermelhas
for diferente do número de casas azuis então é impossível
cobrir o tabuleiro e o problema acabou. Senão monte uma matriz nxn A
onde cada linha corresponde a um quadrado vermelho e cada coluna
a um quadrado azul. Se os quadrados vermelho-i e azul-j não forem
vizinhos então a_{ij} = 0. Se eles forem vizinhos na vertical
ou em uma linha horizontal par então a_{ij} = 1. Se eles forem
vizinhos em uma linha horizontal ímpar então a_{ij} = -1.
Agora det A é o número de maneiras de cobrir o tabuleiro.
Vamos ver um exemplo, o quadrado 4x4. Numere os quadrados assim:
[1] (1) [2] (2)
(3) [3] (4) [4]
[5] (5) [6] (6)
(7) [7] (8) [8]
Aqui usamos [] para vermelho e () para azul.
A matriz A é
[ 1 0 1 0 0 0 0 0 ]
[ 1 1 0 1 0 0 0 0 ]
[ 1 0 -1 -1 1 0 0 0 ]
[ 0 1 0 -1 0 1 0 0 ]
[ 0 0 1 0 1 0 1 0 ]
[ 0 0 0 1 1 1 0 1 ]
[ 0 0 0 0 1 0 -1 -1 ]
[ 0 0 0 0 0 1 0 -1 ]
e det(A) = 36.
Já apareceram nesta lista um monte de problemas de geometria plana resolvidos
com o uso de números complexos. E para resolver a equação de grau 3 você
precisa de complexos, mesmo se os coeficientes e raízes forem todos reais;
esta, aliás, foi a razão histórica para "inventarem" números complexos.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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