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Interessante esse problema!
Suponhamos, inicialmente, que o intervalo é [0,1] e
que f(0) = 0.
Como f é C^1 em [0,1], f' existe e é contínua
em [0,1].
Seja g = |f'| (ou seja, g(x) = |f'(x)| para todo x
em [0,1]).
Então g também é contínua em [0,1] e, portanto,
atinge seu valor máximo, igual a M, nesse intervalo.
É claro que M >= 0.
Seja h:[0,1] -> R dada por:
h(x) = (M+1)x.
h é claramente crescente em [0,1] e h(0) =
0.
Seja k:[0,1] -> R dada por:
k(x) = f(x) - (M+1)x.
k eh de classe C^1 e k(0) = 0.
Além disso, para todo x em [0,1],
k'(x) = f'(x) - (M+1) <= |f'(x)| - (M+1) <
0.
Logo, k eh decrescente em [0,1].
É claro que, para todo x em [0,1], f(x) = h(x) +
k(x).
Ou seja, o resultado está provado para uma funçao
definida em [0,1] com f(0) = 0.
A generalização para o caso geral é fácil.
Se f:[a,b] -> R é de classe C^1, basta
considerar a função:
F:[0,1] -> R dada por:
F(x) = f(a + (b-a)x) - f(a)
que você recai no caso provado acima.
É claro que F é de classe C^1 em [0,1] e F(0) =
0.
[]s,
Claudio.
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