Re:[obm-l] Re:

Eu ja postei ha alguns seculos a prova de que e e transcedente.

Outra prova, mais direta, e ver a fraçao continua de e, e ver que ela nao e periodica. Ha um tempo atras o Claudio deixou um paper na lista provando a fraçao continua de e.

Osvaldo <1osv1@bol.com.br> wrote:

Olá Cláudio!

A prova da irrac. do nº e eu resolvi exatamente da
maneira como vc mostrou abaixo na prova(expandindo a
exponencial por Taylor e chegando a uma contradiçao na
hipotese.). Não sei se fui claro, é que eu gostaria de
uma outra forma de se fazer esta dem., mesmo assim
valew.

Qto a ideia basica da dem. de C ser alg. fechado, achei
interessantissima... estou procurando sua indicaçao,
valew. Voce nao saberia uma bibliografia que demonstre
isso? caso sim, me mande, please.
Falou

> e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ....
>
> Suponha que e = m/n, com m e n inteiros positivos.
> Como e nao eh inteiro, temos que n >= 2.
>
> Entao:
> 0 < e - 1 - 1/1! - 1/2! - ... - 1/n! = 1/(n+1)! + 1/
(n+2)! + ... ==>
> 0 < m/n - 1 - 1/1! - 1/2! - ... - 1/n! = 1/n!*(1/
(n+1) + 1/((n+1)(n+2)) + ... ).
>
> Reduzindo m/n - 1 - 1/1! - 1/2! - ... - 1/n! a um
denominador comum, ficamos com:
> 0 < p/n! < 1/n!*(1/(n+1) + 1/(n+1)^2 + ... ) onde p
eh um inteiro positivo ==>
> 0 < p < (1/(n+1))/(1 - 1/(n+1)) ==>
> 0 < p < 1/n < 1 ==>
> existe um inteiro entre 0 e 1 ==>
> contradicao ==>
> e eh irracional.
>
> *****
>
> A afirmacao de que C eh algebricamente fechado eh o
teorema fundamental da algebra. Voce encontra
demonstracoes razoavelmente inteligiveis no site
> "cut-the-knot".
>
> A ideia basica da demonstracao eh que, se p(z) eh um
polinomio complexo, entao, para |z| grande, p(z) eh
dominado pelo termo de maior grau (digamos z^n) e para
|z| muito pequeno, p(z) eh dominado pelo termo
independente (digamos a_0), suposto diferente de 0 (se
a_0 = 0, entao 0 eh uma raiz de p(z) e acabou...)
>
> Tomando |z| = R grande o suficiente, se fizermos o
argumento de z variar de 0 a 2Pi, o lugar geometrico de
p(z) irah ser proximo do lugar geometrico de z^n, o
qual percorre n vezes uma circunferencia de raio R^n em
torno da origem (o crucial eh R seja grande o
suficiente para que a origem fique no interior do l.g.
de p(z)).
>
> Tomando |z| = r proximo o suficiente de zero, se
fizermos z variar de 0 a 2Pi, o lugar geometrico de p
(z) ficarah limitado ao interior de um circulo de raio
muito pequeno em torno de a_0, o qual nao contem a
origem (lembre-se de que a_0 <> 0).
>
> Fazendo |z| variar continuamente de R ateh r, o l.g.
de p(z) irah se contrair continuamente e, portanto,
para um dado valor de |z|, irah passar pela origem. Ou
seja, para um dado valor de z com este modulo, p(z)
serah igual a zero.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
> De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Para:"obm-l" obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Cópia:
>
> Data:Sun, 30 May 2004 15:46:26 -0300
>
> Assunto:
>
>
>
> > Pessal, semestre passado meu prof. de calc. II
colocou
> > na prova um exercicio assim
> > "Prove que o número e é irracional"
> >
> > Eu usei a Form. de Taylor com resto de Lagrange e o
> > met. de red ao absurdo, supondo como hip. inicial
que e
> > fosse racional.
> >
> > Gostaria de saber uma outra maneira de resolve lo.
> >
> >
> > Alem disso, gostaria de saber se é muito dificil
provar
> > que o conj. C é algebricamente fechado.
> >
> >
> > Falow pessoal!
> >
> >
> > Atenciosamente,
> >
> > Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira
> > Osvaldo Mello Sponquiado
> > Usuário de GNU/Linux
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References:

Re:[obm-l] Re:
- From: Osvaldo