RE: [obm-l] Geom. Plana

[Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Olá Thor,

	Segue uma resolução possível para esta questão.


RESOLUÇÃO POSSÍVEL:

Se os dois quadrados concêntricos têm os mesmos perímetros (P), então eles
são congruentes, pois terão os mesmos lados (L = P/4). Como o esboço da
figura é muito importante para facilitar a compreensão da resolução, segue a
descrição do mesmo.

Seja ABCD um quadrado de perímetro P, lado L (L = P/4) e centro O. Agora
obtenha o outro quadrado A'B'C'D' a partir da rotação de um ângulo BETA de
ABCD em torno da sua origem O no sentido horário, tal que 0 < BETA < 90°.
Nomeie os pontos de interseção dos dois quadrados como H[1], H[2], H[3],
..., H[8] no sentido horário partindo do ponto de interseção mais próximo de
A no segmento AB.

Segue a demonstração de que o ângulo BETA (<AOA') de rotação do quadrado
ABCD deve ser igual a 45°.
Para isto, considere P o ponto de interseção do segmento AO com o lado D'A'
do quadrado A'B'C'D' e Q o ponto de interseção do segmento A'O com o lado AB
do quadrado ABCD. No quadrilátero PH[1]QO o ângulo <PH[1]Q corresponde a um
dos ângulos internos de um octógono regular (dado do enunciado), então:
<PH[1]Q = (8 - 2).180°/8 = 135°
<PH[1]A + <PH[1]Q = 180° => <PH[1]A + 135° = 180° => <PH[1]A = 45°
<PAH[1] = 45° (ângulo agudo formado entre uma diagonal e um lado do quadrado
ABCD)
Pelo Teorema do Ângulo Interno: <OPH[1] = <PAH[1] + <PH[1]A => <OPH[1] = 90°
Analogamente, concluímos que <H[1]QO = 90°
A soma dos ângulos internos do quadrilátero OPH[1]Q é igual a 360°,
portanto: <OPH[1] + <PH[1]Q + <H[1]QO + <QOP = 360° => 90° + 135° + 90° +
BETA = 360° => BETA = 45°

Observe que: AO = AP + PO (i)

AO: metade da diagonal do quadrado ABCD, portanto AO = L.sqr(2)/2 (ii)

AP: metade do lado do octógono regular (X/2), pois na dedução do ângulo de
rotação (BETA) nós concluímos que o triângulo APH[1] é retângulo isósceles.
Analogamente, podemos concluir que APH[8] é retângulo isósceles. Como o lado
AP é comum, podemos dizer que os triângulo APH[1] e APH[8] são congruentes
pelo critério ALA. Considerando X como a medida do lado do octógono regular
H[1]H[2]H[3]H[4]H[5]H[6]H[7]H[8], teremos AP = PH[1] = PH[8] = X/2 (iii)

PO: metade do lado do quadrado A'B'C'D', portanto PO = L/2 (iv)

Substituindo as igualdades (ii), (iii) e (iv) na igualdade (i), teremos:
L.sqr(2)/2 = X/2 + L/2 => X = [sqr(2) - 1].L
Como L = P/4: X = {[sqr(2) - 1].P}/4

Resposta: {[sqr(2) - 1].P}/4

Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho
______________________________________
From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Thor
Sent: sexta-feira, 28 de maio de 2004 19:25
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Geom. Plana

 
 
Dois quadrados concêntricos de perímetro P , cada , são interceptados de
modo que os pontos de interseção
de seus lados sejam os vértices de um octógono regular.Qual é o lado desse
octógono em funçao de P?
 
 
Tentei fazer , e cheguei na lei dos co-senos , e dai parei!!!!
 
    Agradeço desde de já.



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================