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RES: [obm-l] Soma...
Oi, eu entendi... muito muito muito obrigado...
Achei esse negocio muito util.. não conhecia..
Obrigado de novo..
[]'s
David
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome de Rogério Moraes
> de Carvalho
> Enviada em: sexta-feira, 28 de maio de 2004 16:22
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: RE: [obm-l] Soma...
>
> Olá David,
>
> Se você considerar S[n] como um polinômio de grau k em
> n (k inteiro positivo), então:
>
> S[n]=a[k].n^k+a[k-1].n^(k-1)+...+a[1].n+a[0], tais que a[0],
> a[1], ..., a[k] são os coeficientes de S[n] e a[k]!=0.
>
> S[n-1]=a[k].(n-1)^k+a[k-1].(n-1)^(k-1)+...+a[1].(n-1)+a[0]
>
> Considerando a notação C(u, v)=u!/[v!(u-v)!], com u e v
> inteiros não negativos e u >= v, e aplicando o
> desenvolvimento do binômio de Newton nas expressões (n-1)^p,
> com p pertencente a {1, 2, ..., k}, teremos:
>
> S[n]-S[n-1] = {a[k]-C(k,0).a[k]}.n^k +
> {a[k-1]+C(k,1).a[k]-C(k-1,0).a[k-1]}.n^(k-1) + ...
> S[n]-S[n-1] = {a[k]-a[k]}.n^k + {a[k-1]+k.a[k]-a[k-1]}.n^(k-1) + ...
> S[n]-S[n-1] = k.a[k].n^(k-1) + ...
>
> Como, por hipótese, k é inteiro positivo e a[k]!=0, então
> k.a[k]!=0. Sendo
> assim: grau{S[n]-S[n-1]} = k-1 (i)
> Como: S[n]-S[n-1]=n^2 => grau{S[n]-S[n-1]} = 2 (ii)
>
> Por (i) e (ii): k-1 = 2 <=> k = 3
>
>
> Atenciosamente,
>
> Rogério Moraes de Carvalho
> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On Behalf Of David M. Cardoso
> Sent: quarta-feira, 26 de maio de 2004 20:49
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: RES: [obm-l] Soma...
>
>
> Extraindo dessa mensagem essa parte:
>
> > Seja S[n] o polinômio que representa a soma dos quadrados dos n
> > primeiros inteiros positivos, então podemos concluir que:
> > S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 (i)
> >
> > Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, uma vez que
> na diferença
> > S[n]
> > - S[n - 1] os termos de maior grau dos polinômios vão ser
> cancelados.
>
> Não entendi pq o dá pra inferir que o grau do polinomio é 3...
> Será alguem pode explicar isso?
>
>
> > -----Mensagem original-----
> > De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] Em nome de Rogério Moraes de
> > Carvalho Enviada em: quarta-feira, 19 de maio de 2004 10:25
> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Assunto: RE: [obm-l] Soma...
> >
> > Olá Crom,
> >
> > Muitos livros de Matemática apresentam uma possível dedução da
> > fórmula da soma das potências k-ésimas (k inteiro
> > positivo) dos n primeiros inteiros positivos pelo método que você
> > apresentou parcialmente, ou seja, usando o desenvolvimento
> do binômio
> > de Newton (x + 1)^(k + 1). Ao aplicar o somatório com x
> variando de 1
> > até n a ambos os membros da igualdade, os termos de grau (k
> + 1) podem
> > ser cancelados, com exceção de (n + 1)^(k + 1) no primeiro
> membro da
> > igualdade e 1^(k + 1) = 1 no segundo membro da igualdade.
> > Porém, para descobrir a fórmula da soma das potências k-ésimas, nós
> > precisamos conhecer todas as fórmulas das somas das potências com
> > expoente de 1 até (k - 1). Sendo assim, nós encontramos uma
> fórmula de
> > recorrência para deduzir a soma das potências k-ésimas dos
> n primeiros
> > inteiros positivos, porém o processo vai ficando muito
> longo à medida
> > que os expoentes vão crescendo.
> >
> > A seguir, eu apresento um método que pode ser utilizado para
> > encontrar a soma das potências k-ésimas dos n primeiros inteiros
> > positivos de forma direta. Neste método, não há a necessidade de se
> > conhecer as fórmulas das somas das potências com expoente
> de 1 até (k
> > - 1)
> >
> >
> > DEDUÇÃO POSSÍVEL:
> >
> > Seja S[n] o polinômio que representa a soma dos quadrados dos n
> > primeiros inteiros positivos, então podemos concluir que:
> > S[n] = S[n - 1] + n^2 => S[n] - S[n - 1] = n^2 (i)
> >
> > Logo S[n] tem que ser um polinômio de grau 3, uma vez que
> na diferença
> > S[n]
> > - S[n - 1] os termos de maior grau dos polinômios vão ser
> cancelados.
> > Sendo assim, podemos escrever:
> > S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n + d
> > O termo independente é 0, uma vez que S[0] não possui termos.
> > Portanto, d = 0.
> > S[n] = a.n^3 + b.n^2 + c.n (ii)
> >
> > Substituindo a (ii) na (i):
> > a.n^3 + b.n^2 + c.n - a.(n - 1)^3 - b.(n - 1)^2 - c.(n - 1) = n^2
> > 3a.n^2 - 3a.n + a + 2b.n - b + c = n^2
> > 3a.n^2 + (2b - 3a).n + (a - b + c) = n^2
> >
> > Pela identidade de polinômios, devemos ter:
> > 3a = 1 <=> a = 1/3
> > 2b - 3a = 0 <=> 2b - 1 = 0 <=> b = 1/2 a - b + c = 0 <=>
> 1/3 - 1/2 + c
> > = 0 <=> c = 1/6
> >
> > Substituindo a, b e c no polinômio (ii):
> > S[n] = n^3/3 + n^2/2 + n/6
> >
> > Fatorando:
> > S[n] = (2.n^3 + 3.n^2 + n)/6
> > S[n] = [n(2n^2 + 3n + 1)]/6
> >
> > S[n] = [n(n + 1)(2n + 1)]/6
> >
> > Para o caso particular do problema apresentado, teremos:
> > S[10] = (10.11.21)/6 => S[10] = 385
> >
> >
> > Atenciosamente,
> >
> > Rogério Moraes de Carvalho
> > ________________________________________
> > From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br
> > [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On Behalf Of
> DEOLIVEIRASOU@aol.com
> > Sent: quarta-feira, 19 de maio de 2004 01:21
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Subject: [obm-l] Soma...
> >
> > Qual o valor de S=1^2+2^2+3^2+.....+10^2?
> > Usei para resolver esse problema a identidade (x+1)^3. Com efeito,
> > 2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2*1+3*1*1^2+1^1
> > 3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1
> > ------------------------------------------------------
> > 11^3=(10+1)^3=10^3+3*10^2*1+3*10*1^2+1.Isolando
> > convenientemente 3*1^2+3*2^2+....+3*10^2. descubro S. Minha
> pergunta
> > é: Existe um modo mais fácil de se achar soma de quadrados
> perfeitos??
> > Quem souber e puder responder, deixo meu agradecimento.
> > Crom
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
> em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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