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Quando eu estava no Científico (hoje ensino médio) os livros didáticos definiam determinante como o Hugo. Parece-me a maneira melhor de faze-lo para um aluno de ensino medio. Na verdade, os livros davam uma simplificadazinha que tornava incompreensivel o porque de o determinante de uma matriz ser igual ao da sua transposta, mas, fora isso, enunciavam-se e provavam-se todos os teoremas relevantes, inclusive o de Laplace, de modo compreensível para um aluno do segundo científico. Sofria-se no inicio, com uma semana inteira dedicada a inversões antes de chegar a definição de determinante, porem, posteriormente, o desenvolvimento da teoria era rapido e justificado (provava-se tudo).
Hoje, com o ensino "pratico e objetivo", livre dos professores que so querem complicar (provar para que? todo mundo ja sabe que é verdade mesmo!), define-se determinante pelo teorema de Laplace; isso torna complicado provar os teoremas, mas, nesses tempos praticos e objetivos, ninguem vai provar nada mesmo, a Matematica que se ensina nao tem mais teoremas, tem apenas observações...
Na época, início da década de 60, tentando resolver o que era, para mim, um mistério (o do determinante da transposta) descobri um livro que expunha de modo claro e compreensivel a teoria dos determinantes: Lições de Algebra e Analise, de Bento de Jesus Caraça. Nele se encontra a mais didatica exposição da teoria dos determinantes, provando-se tudo.
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Em uma mensagem de 25/5/2004 00:29:48 Hora padrão leste da Am. Sul, ehl@netbank.com.br escreveu:
olá, gostaria de saber se existe uma definição exata de determinante de uma matriz...
é que eu já vi 3 definições distintas e gostaria de saber se todas sao aceitas como definições mesmo, ou apenas uma delas é a certa e as outras sao teoremas a partir dessa, ou é ainda uma outra além dessa 3...
uma das definições, dada pelo Manoel Paiva, vol 2 é:
"O determinante de uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), com n >= 2, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de qualquer matriz triangular B, equiparável a A."
bom, nesse caso eu gostaria de saber se existe algum lugar em que eu posso encontra a demonstração desses dois teoremas:
"Dada uma matriz quadrada A = (a_ij)_(nXn), existe uma matriz triangular B = (b_ij)_(nXn) equiparável a A."
esse eu acho meio intuitivo, mas tentei provar matematicamente e não consegui...
"Se duas matrizes triangulares A e B são equiparáveis, então ambas possuem o mesmo produto dos elementos da diagonal principal."
esse nao é nem um pouco intuitivo e tb nao consegui demonstrar.
bom, a outra definição que encontrei para determinante foi no Gelson Iezzi vol. 4.:
"O determinante de uma matriz de ordem n >= 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira coluna pelos respectivos cofatores."
a outra definição que encontrei foi em um e-mail enviado para esta lista, por Hugo Iver Vasconcelos Gonçalves:
"o determinante de uma matriz é a soma algébrica de todos os possíveis fatores em que estão presentes um (e apenas um) elemento de cada linha e cada coluna, sendo que aqueles em que os índices dos elementos da matriz formam uma permutação de primeira classe são tomados positivamente e os demais, negativamente."
nesse caso a explicação que ele deu para permutação de primeira classe foi:
"permutação de primeira classe é aquela em que o número de inversões é par"
e a explicação para inversões foi:
"inversão é o fato de um par de elementos de uma permutação não aparecer na mesma ordem que apareceram na permutação inicial. No caso de a permutação inicial de n números ser a disposição deste em ordem crescente, uma inversão seria basicamente o fato de aparecer um número maior antes de um menor. E se a ordem inicial deles for outra, pode-se sempre chamar o 1o elemento de a1 e o n-ésimo de an, de modo que uma inversão será simplesmente quando aparecer um número ap antes de um aq, tais que p > q."
nesse caso eu nao entendi como calcular quantas inversoes foram necessarias para chegar a dada permutação...
bom, é isso, sanadas minha dúvidas e se não for abuso, gostaria de saber onde poderia encontrar a demonstração do teorema fundamental de Laplace.
desde já agradeço
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