[obm-l] Cone Sul - Problema 2

[latino@xxxxxxxxxx]

Cone Sul - Problema 2

"Dada uma circunferencia C e um ponto P exterior a ela, tracam-se por P as
duas tangentes aa circunferencia, sendo A e B os pontos de tangencia.
Toma-se um ponto Q sobre o menor arco AB de C. Seja M a intersecao da reta
AQ com a perpendicular a AQ tracada por P e seja N a intersecao da reta BQ
com a perpendicular a BQ tracada por P. Demonstre que, ao variar Q no arco
AB, todas as retas MN passam por um mesmo ponto.


Solucao:

Sejam:
H o pe da perpendicular de P a AB
R e S as projecoes de N e M, respectivamente, a PH
Q e T as projecoes de N e M, respectivamente, a AB

No triangulo PNM:
PN = PB.sen(<PBN) (I)

QH = NR = PN.sen(<NPR) = PN.sen(<NBA) (quadrilat. NPBH inscrit.) => (por I)

QH = PB.sen(<PBN).sen(<NBA)

Da mesma forma encontramos:

TH = PA.sen(<PAM).sen(<MAB)

Como PA = PB, <PAM = <NBA e <PBN = <MAB, entao GH = TH

Logo, a intersecao de MN com a altura PH se da no ponto medio de MN, que
chamamos de L, e LH eh base media do trapezio QNMT com bases NQ e MT.
Entao LH = (NQ + MT)/2

Mas NQ = PH - PR = PH - PN.cos(<NPR) = PH - PB.sen(<PBN).cos(<NBA)

Da mesma forma:

MT = PH - PA.sen(<NBA).cos(<PBN)

e

NQ + MT = 2PH - PA.(sen(<PBN).cos(<NBA) + sen(<NBA).cos(<PBN)) =

= 2PH - PA.sen(<PBN + <NBA) = 2PH - PA.sen(<PBA) = 2PH - PH = PH

e LH = (NQ + MT)/2 = PH/2


Ou seja, todas as retas MN passam pelo ponto medio da altura PH.

[]'s

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# MSc. Edson Ricardo de A. Silva    #
# Computer Graphics Group (CRAB)    #
# Federal University of Ceara (UFC) #
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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