Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Análise_I

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

> On Mon, May 17, 2004 at 07:05:59AM -0300, francisco
> medeiros wrote:
> >  Não existe uma função real (i.e., de R em R)
> contínua que transforme
> >  todo número racional num irracional e vice-versa.
> 
Naum sei se jah responderam aa sua pergunta
(provavelmente jah), passei uns dias sem poder olhar a
lista. Mas uma forma de mostrarmos o resultado
desejado eh considerarmos o fato, consequencia do
Teorema de Baire, de que o conjunto dos irracionais
nao eh F-sigma, isto eh, naum pode ser dado por uma
uniao enumeravel de conjuntos fechados de R.
Supondo-se que exista uma funcao f conforme a
especificada, temos pelas hipoteses feitas que I =
f^(-1)(Q), isto eh, os irracionais sao a imagem
inversa dos racionais sob a funcao f. Temos ainda que,
por ser enumeravel, Q ={q_1,...q_n...} = Uniao {q_n}.
Conforme sabemos, cada {q_n} eh um fechado com
interior vazio. As propriedades da imagem inversa de
funcoes leva-nos entao a que I = Uniao f^(-1)({q_n}, e
a continuidade de f implica que cada f^(-1)({q_n})
seja fechado em R. Concluimos assim que I eh F-sigma,
condicao a que I, comprovadamente, naum satisfaz.
Desta contradicao concluimos que naum existe uma
funcao com as caracteristicas dadas. 
Eh facil ver que I nao pode ser F-sigma. Inicialmente,
verificamos que, por ser enumeravel, Q eh "magro" (em
R, assim como em todo espaco metrico completo que naum
contenha pontos isolados, conjuntos enumeraveis sao
sempre magros, isto eh, sao dados por uma uniao
enumeravel de conjuntos cujos fechos tem interior
vazio). Como R nao eh magro (eh um aberto nao vazio em
um espaco de Baire) e R = Q Uniao I, temos que I nao
pode ser magro, ou R tambem o seria (unioes
enumeraveis ou finitas de conjuntos magros sao
magras). Se I for dado por uma uniao enumeravel {F_n}
de fechados, entao, como I tem interior vazio, o mesmo
necessariamente sucede para todos os F_n (se um deles
contivesse um aberto nao vazio, entao a uniao deles
tambem conteria este aberto e, desta forma, nao
poderia se igualar a I). Como cada F_n, por ser
fechado, confude-se com o seu fecho, concluimos que I
eh dado por uma uniao enumeravel de conjuntos cujos
fechos tem interior vazio. Logo, I eh magro,
contradizendo o fato que anteriormente demonstramos. 
Temos, portanto, que I nao eh F-sigma.
E como uma corolario de tal fato, temos que Q naum eh
G-delta (dado por uma interseccao enumeravel de
conjuntos abertos). Se Q fosse G-delta, as leis de De
Morgan implicariam que I = complementar de Q fosse
F-sigma, o que, como vimos, naum ocorre.

Artur    




	
		
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