Re: [obm-l] Olimpiadas Russas

["Fabio Dias Moreira" <fabio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Paulo Santa Rita said:
> [...]
> 103 – Seja dado um triangulo ABC com um ponto D em AB e um ponto E em
> AC.  Sabe-se que AD = DE = AC , BD = AE e que DE e paralelo a BC. Prove
> que o  comprimento de BD e igual ao lado de um decagono inscrito em um
> circulo com  raio R = AC.
> [...]

S.p.d.g., AD = DE = AC = 1 e BD = AE = x. Então EC = 1-x. Pelo Teorema de
Tales, AE/EC = AD/DB, pois DE//BC. Logo x/(1-x) = 1/x.

Considere agora o triângulo XYZ, com XYZ = XZY = 2*pi/5, YZ = y e XY = XZ
= 1. Esse triângulo é um dos gomos do decágono regular inscrito na
circunferência de raio 1 = AC. Escolha agora W sobre XZ tal que YW
bissecta XYZ. Então os triângulos YZW e XYZ são semelhantes => y/(1-y) =
1/y, pois YZ = YW = XW.

Como a equação z/(1-z) = 1/z tem duas raízes, uma positiva e outra
negativa, mas x e y são positivos e são raízes dessa equação ==> x = y.

[]s,

-- 
Fábio "ctg \pi" Dias Moreira


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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