Re: [obm-l] exercícios

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 14.05.04 11:53, biper at biper@bol.com.br wrote:

> 2)Encontre as soluções inteiras de.
> 
> x^3 - y^3 = 999
>

A primeira observacao eh que se (a,b) eh solucao, entao (-b,-a) tambem eh.
Logo, podemos nos limitar ao caso em que x > 0.


Caso 1: x > y > 0. 
A equacao pode ser re-escrita como:
(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 3^3*37

Temos 4 sub-casos a considerar:
1) x - y = 1  e  x^2 + xy + y^2 = 999
2) x - y = 3  e  x^2 + xy + y^2 = 333
3) x - y = 9  e  x^2 + xy + y^2 = 111
4) x - y = 27  e  x^2 + xy + y^2 = 37
Repare que cada um desses sub-casos se reduz a uma equacao do 2o. grau, da
qual buscamos raizes inteiras.
As unicas solucoes obtidas correspondem aos casos 2 e 3.
Sao, respectivamente, (12,9) e (10,1).
Da observacao inicial obtemos as solucoes (-9,-12) e (-1,-10).


Caso 2: x > 0 > y.
Nesse caso, fazendo z = -y > 0, obtemos a equacao:
x^3 + z^3 = 999 ==>
(x + z)*(x^2 - xz + z^2) = 3^3*37

Novamente, temos 4 sub-casos a considerar:
1) x + z = 1  e  x^2 - xz + z^2 = 999
2) x + z = 3  e  x^2 - xz + z^2 = 333
3) x + z = 9  e  x^2 - xz + z^2 = 111
4) x + z = 27  e  x^2 - xz + z^2 = 37
Nenhuma das 4 equacoes do 2o. grau resultantes tem raizes inteiras (o que eh
mais ou menos obvio, jah que x e z sao positivos)

Logo, as unicas solucoes sao:
(12,9), (-9,-12), (10,1) e (-1,-10).

[]s,
Claudio.


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================