RE: [obm-l] Sequencia de equacoes quadraticas

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Oi Claudio e demais colegas
desta lista ... OBM-L,

Tudo Legal ?

Problema Bonito ! Vou dar uma ideia que talvez ajude ...

A equacao original e : X^2 + p1*X + q1 = 0.  Vou representa-la ligeiramente 
modificada. Assim :
X^2 + p11*X + p12 = 0. Suas raizes serao : p21 e p22. Entao :

p21 + p22 = - p11
p21*p22 = p12

As proxima equacao sera : X^2 + p21*X + p22 = 0. Suas raizes serao p31 e 
p32. Entao :
( Claramente existe uma questao de simetria a ser considerada aqui, mas nao 
vamos nos perder
com estes detalhes, agora )

p31 + p32 = -p21
p31*p32 = p22

Agora, nos podemos voltar ... voltando ( segundo sistema no primeiro )  :

-(p31+p32) + p31*p32 = -p11
p31*p32(-p31-p32) = p12

p31*p32(p31*p32 + p11) = p12 => (p31*p32)^2 - p11*(p31*p320 - p12 = 0
Fazendo p31*p32 = Y, teremos :
Y^2  - p11*Y - p12 = 0

Considerando que o personagem "Joao" nao conhece variaveis complexas, a 
equacao acima
nos permite dsicutir a terceira equacao ( o produto de suas raizes !) com 
base nos parametros da equacao original ... E claramente que esta otica pode 
ser repetida para N sistemas, ad infinitum.

Numa primeira aproximacao, acredito que se a informacao acima nao for 
apoditica para esclarecer o problema, ao menos pode dar informacoes uteis 
numa posterior investigacao. O problema e bonito,
e conforme a nossa tradicao olimpica e se coaduna com perfeicao ao espirito 
que a preside, qual
seja, o de criatividade, de inconformidade perante a rotina e a 
mediocridade.

Com os melhores votos
de Paz Profunda, sou
Paulo Santa Rita
6,0942,140504

>From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: Lista OBM <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Sequencia de equacoes quadraticas
>Date: Thu, 13 May 2004 21:54:42 -0300
>
>Oi, pessoal:
>
>O problema abaixo, proposto pelo Marcelo Souza, acabou caindo no
>esquecimento.
>
>Eu comecei a fazer no braco, mas cai numas desigualdades horriveis e
>desisti.
>
>Depois, testei varios casos no computador e cheguei a uma conjectura:
>Joao resolve no maximo duas equacoes, ou seja, se houver uma terceira
>equacao, ela terah necessariamente, raizes complexas.
>
>Exemplos:
>1) x^2 + 2x + 3 = 0 ==> raizes complexas ==> Joao para na primeira.
>
>2) x^2 - 5x + 6 = 0 ==> raizes: 2 e 3 ==> cai na equacao (1) e, portanto,
>para na segunda.
>
>3) x^2 - x - 30 = 0 ==> raizes: -5 e 6 ==> cai na equacao (2) e, portanto,
>para na terceira.
>
>Repare que esse processo nao pode ser continuado pois -1 > -30 e o 
>enunciado
>diz que o coeficiente de x tem que ser inferior ao termo independente.
>
>Entao? Quem se habilita a provar ou encontrar um contra-exemplo pra
>conjectura acima?
>
>[]s,
>Claudio.
>
>on 28.04.04 00:49, Marcelo Souza at marcelo_souza7@hotmail.com wrote:
>
>Olá pessoas
>
>Alguém poderia me dar uma mãozinha neste probleminha
>
>1. João resolve equações quadráticas. Resolvendo a equação x^2+p_1x+q_1=0,
>ele encontra duas raízes reais p_2, q_2, p_2<q_2. Então ele resolve
>x^2+p_2x+q_2=0 e assim por diante...
>Até quando este exercício se repetirá, sabendo que João não conhece números
>complexos?
>
>obrigado
>[]'s, Marcelo.
>
>
>

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