Re: [obm-l] Geometria Plana

["boromir" <boromir@xxxxxxxxxxxx>]

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>De:JoaoCarlos_Junior@net.ms.gov.br
>Para:obm-l@mat.puc-rio.br
>Assunto:[obm-l] Geometria Plana
>
>Caros participantes,
>
>	 Três exercícios de Geometria Plana
>seguem abaixo.
>
>	 Minha dúvida é somente com relação à
>letra (b) do primeiro, a qual:
>  Essa  figura  (lugar geométrico) é tal chamada
>cardióide? Sua equação é Y
>  =  (sent  +	cost),	com  ?90<t<  +90,  cujo 
>vértice de tal ângulo t é o
>  simétrico  de  B em relação a O, centro do
>círculo? O próprio ponto B não
>  pertence a esse LG, correto?
>
>	 Os   demais   exercícios  foram 
>lançados,  pois  que,	pode  haver
>  interessados nos mesmos.
>
>  1) Dado um círculo de centro O, seja BC uma
>corda fixa desse círculo, tal
>  que	BC  =  90  graus.  Para cada A
>pertencente ao círculo, constrói-se o
>  quadrado ABMN, exterior ao triângulo ABC.
>  a)  Mostre que a reta AN passa por um ponto
>fixo.
AN é perpendicular a AB e portanto a reta AN intersecta o círculo no ponto B´ diametralmente oposto a B. Como B é fixo B' também é fixo.


>  b)  Determine o lugar geométrico de N.
Tome o ponto C' diametralmente oposto a C. Os triângulos C'AB e C'AN são congruentes (caso LAL no ângulo A) e, portanto C'B = C'N. Como C'B é fixo igual ao raio do círculo original vezes metade de sqrt(2), o LG de N é um círculo de centro C' e raio igual ao raio docírculo dado vezes sqrt(2).



>
>  2)  AB  é uma corda móvel de um círculo dado
>C, e D é um ponto fixo sobre
>  AB  (DA diferente de DB). Dois círculos
>variáveis tangentes interiormente
>  ao  círculo C e contendo respectivamente as
>cordas AD e DB se interceptam
>  em Q. Determinar o lugar geométrico do ponto
>Q.
>
Eu não entendi muito bem o enunciado...
1) A corda móvel tem comprimento fixo?
2) D está sobre a corda AB ou sobre o arco AB?

>  3)  Dois  círculos  de  centro  O e O´e de
>raios R e R´se interceptam nos
>  pontos  A  e  B.  Uma  reta	r contendo A
>intercepta o círculo O em C e o
>  círculo O´em D.
>  a)  Provar que a soma dos arcos CA + AD
>permanece constante quando a reta
>  r varia;
O ângulo OAO' nunca se altera. OAO'+ OAC + O'AD = 180 graus. OAC é metade do suplemento do arco AC e O'AD é metade do suplemento do arco AD,portanto:
OAO' + 90 - 0,5*arco(AC) + 90 - 0,5*Arco AD = 180
0,5*[arco(AC) + arco(AD)] = OAO'
Arco (AC) + Arco(AD)= 2*OAO' que é constante.

>  b)  Considerar uma segunda posição da reta r
>que determine no círculo de
>  centro O um ponto E, e no círculo de centro
>O´um ponto F, tais que P seja
>  a interseção de EC e DF. Prove que os ângulos
>CPD e CBD são
>  suplementares.


São suplementares e alem disso são constantes.
NOte que o ângulo PEF mede metade do arco AC; O ângulo AFD é metade do replemento do arco AD.

Usandoo teorema do ângulo esxterno, 
PEF+CPD = AFD
0,5*Arco(AC) + CPD = 180 - 0,5*Arco(AD)
0,5*[Arco(AC) + arco(AD)]= 180 - CPD
É extremamente simples verificar que CBD é igual a
0,5*[Arco(AC) + arco(AD)] e portanto CPD e CBD são suplementares.

[]'s MP



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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