[obm-l] Probabilidade e quadradinhos

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Pessoal,

Em outra lista, vi um problema interessante:

Uma folha quadrada de papel quadriculado contém n^2 quadradinhos (n >= 2).
Escolhendo-se, ao acaso, dois quadradinhos distintos, qual é a probabilidade
de que eles tenham um lado comum?

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Há três "tipos" de quadradinhos: a) aqueles que estão nos cantos da folha e
possuem apenas dois outros quadradinhos adjacentes; b) aqueles que estão ao
longo das extremidades da folha e possuem apenas três quadradinhos vizinhos;
e c) aqueles que não estão em qualquer uma das posições anteriores da folha
e possuem quatro quadradinhos vizinhos.

Qualquer que seja n >= 2, teremos para:

a) 4 quadradinhos;
b) 4(n-2) quadradinhos;
c) n^2 - 4 - 4(n-2) quadradinhos.

A probabilidade de ocorrer (a) é:
p1 = 4/n^2 * 2/(n^2 - 1)

A probabilidade de ocorrer (b) é:
p2 = 4(n-2)/n^2 * 3/(n^2 - 1)

A probabilidade de ocorrer (c) é:
p3 = [n^2 - 4 - 4(n-2)]/n^2 * 4/(n^2 - 1)

E, se não errei até agora, a probabilidade pedida é:

P = p1 + p2 + p3


O que vocês acham?


Obrigado,

Rafael de A. Sampaio

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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