RE: [obm-l] Uma certa confusao

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

Prestem atencao na mensagem abaixo... E muito boa !

Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,2151,060504

>From: Artur Costa Steiner <artur_steiner@yahoo.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: OBM <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Uma certa confusao
>Date: Thu, 6 May 2004 13:34:34 -0700 (PDT)
>Eu acho que neste problemas sobre derivadas parciais
>que tem circulado na lista estah havendo uma certa
>confusao. Os enunciados apenas pressupoem a existencia
>das derivadas parciais de f:R^n -> R em um conjunto U,
>aberto e convexo, de R^n. Esta condicao naum permite
>concluir que f seja diferenciavel em U e, desta forma,
>nao autoriza concluir que as derivadas direcionais de
>f existam em todas as direcoes e em todos os pontos s
>de U. Em razao disto, nao se pode garantir a validade
>da versao multidimensional do T. do Valor Medio,
>elemento chave - segundo me parece - para a resolucao
>dos problemas propostos.
>
>Ainda que assumissemos a existencia das derivadas
>direcionais em todas as direcoes e em todos os pontos
>de U, ainda assim creio que nao teriamos garantia da
>validade do T. do valor Medio. Isto porque aquela
>conhecida formula que diz que a derivada direcional em
>um ponto e uma dada direcao eh dada pelo produto
>interno (ou escalar) do gradiente no ponto pelo vetor
>unitario na direcao, pode naum valer. Esta formula
>certamente vigora se f for diferenciavel. Caso
>contraio, pode ou nao vigorar, naum hah garantia.
>
>Acho que tudo estaria legal se,  nos enunciados, a
>condicao de existencia das derivadas parciais fosse
>substituida pela mais forte de diferenciabilidade.
>Lembrando: Dizemos que f eh diferenciavel em um ponto
>x do R^n, n>=2, se existir uma funcao linear L:R^n -R
>tal que, para todo vetor h tal que x+h permaneca no
>dominio de f, tenhamos f(x+h) - f(x) = L(h) +
>o(||h||), sendo o uma funcao tal que o(h)/(||h||) ->0
>quando ||h|| -> 0. Esta funcao L eh chamada de
>derivada (ou derivada total) de f em x. No caso
>unidimensional esta funcao eh simplesmente aquela que
>leva o real h ao real f'(x)*h, e, eh claro, eh entao
>muito conveniente definirmos f'(x) como um numero e
>naum como uma funcao linear.
>
>Difenciabilidade implica: continuidade, existencia de
>todas as derivadas direcionais e validade daquela
>formula bonita do produto escalar do gradiente pelo
>unitario na direcao considerada para calculo da
>derivada direcional.
>
>Existencia de todas as derivadas direcionais (logo das
>parciais) naum implica diferenciabilidae e nem sequer
>continuidade. Tambem naum implica validade daquela
>formula bonita.
>
>A existencia de uma das derivadas parciais em um ponto
>x (interior ao dominio de f) aliada aa existencia das
>outras n-1 em uma vizinhanca de x e, ainda, aa
>continuidade destas n-1 em x, implica
>diferenciabilidade em x. (condicao naum necessaria).
>
>Se todas as derivadas parciais existirem e forem
>limitadas em um aberto U, entao f eh Lipschitz - logo
>uniformemente continua -  em U. Mas isto naum implica,
>contrariamente ao que eu estava achando que fosse
>verdade, que as derivadas direcionais de f tenham que
>existir em U.
>
>Artur
>
>
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