[obm-l] Uma certa confusao

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Eu acho que neste problemas sobre derivadas parciais
que tem circulado na lista estah havendo uma certa
confusao. Os enunciados apenas pressupoem a existencia
das derivadas parciais de f:R^n -> R em um conjunto U,
aberto e convexo, de R^n. Esta condicao naum permite
concluir que f seja diferenciavel em U e, desta forma,
nao autoriza concluir que as derivadas direcionais de
f existam em todas as direcoes e em todos os pontos s
de U. Em razao disto, nao se pode garantir a validade
da versao multidimensional do T. do Valor Medio,
elemento chave - segundo me parece - para a resolucao
dos problemas propostos.

Ainda que assumissemos a existencia das derivadas
direcionais em todas as direcoes e em todos os pontos
de U, ainda assim creio que nao teriamos garantia da
validade do T. do valor Medio. Isto porque aquela
conhecida formula que diz que a derivada direcional em
um ponto e uma dada direcao eh dada pelo produto
interno (ou escalar) do gradiente no ponto pelo vetor
unitario na direcao, pode naum valer. Esta formula
certamente vigora se f for diferenciavel. Caso
contraio, pode ou nao vigorar, naum hah garantia.

Acho que tudo estaria legal se,  nos enunciados, a
condicao de existencia das derivadas parciais fosse
substituida pela mais forte de diferenciabilidade.
Lembrando: Dizemos que f eh diferenciavel em um ponto
x do R^n, n>=2, se existir uma funcao linear L:R^n -R
tal que, para todo vetor h tal que x+h permaneca no
dominio de f, tenhamos f(x+h) - f(x) = L(h) +
o(||h||), sendo o uma funcao tal que o(h)/(||h||) ->0
quando ||h|| -> 0. Esta funcao L eh chamada de
derivada (ou derivada total) de f em x. No caso
unidimensional esta funcao eh simplesmente aquela que
leva o real h ao real f'(x)*h, e, eh claro, eh entao
muito conveniente definirmos f'(x) como um numero e
naum como uma funcao linear. 

Difenciabilidade implica: continuidade, existencia de
todas as derivadas direcionais e validade daquela
formula bonita do produto escalar do gradiente pelo
unitario na direcao considerada para calculo da
derivada direcional.

Existencia de todas as derivadas direcionais (logo das
parciais) naum implica diferenciabilidae e nem sequer
continuidade. Tambem naum implica validade daquela 
formula bonita.

A existencia de uma das derivadas parciais em um ponto
x (interior ao dominio de f) aliada aa existencia das
outras n-1 em uma vizinhanca de x e, ainda, aa
continuidade destas n-1 em x, implica
diferenciabilidade em x. (condicao naum necessaria).

Se todas as derivadas parciais existirem e forem
limitadas em um aberto U, entao f eh Lipschitz - logo
uniformemente continua -  em U. Mas isto naum implica,
contrariamente ao que eu estava achando que fosse
verdade, que as derivadas direcionais de f tenham que
existir em U.

Artur           


	
		
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