Re: [obm-l] derivadas parciais

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

>Por acaso a derivada direcional da função f (definida num subconjunto
>aberto do R^n) no ponto x_0 e na direção do vetor v é igual a:
>Dv(f)(x_0) =lim(t -> 0) (f(x_0 + t*v)- f(x_0))/t   (t real)?

>Em caso afirmativo, v precisa ser um vetor unitário?

A definicao eh efetivamente esta. Quanto ao vetor v ser unitario, naum hah
unanimidade. Alguns autores fazem esta exigencia, outros, como o Apostol,
naum a fazem. Bartle tambem naum exige que v seja unitario. Assim, quando se
estiver consultando algum livro, eh importante se certificar de qual
definicao o autor adota. Na realidade, isto naum eh muito importante, desde
que a convencao adotada fique bem clara.

>Eu pergunto porque se v for um vetor da base canônica do R^n (digamos o
i->esimo: e_i), acho que o limite acima será igual à derivada parcial de f
em >relação a i-ésima variável independente. Daí, talvez seja só uma questão
>de expressar v em função dos vetores da base canônica.

De fato, as derivada parciais, sao as derivadas direcionais relativas aos
vetores da base canonica
 
>Por exemplo, no R^2, suponhamos que v = a*i + b*j (a, b: reais). 
>Então, um pouquinho de álgebra resulta em:
>(f(x_0 + t*v) - f(x_0))/t = 
>a*(f(x_0 + ta*i + tb*j) - f(x_0 + tb*j))/(ta) + b*(f(x_0 + tb*j) - f
>(x_0))/>tb).


>Por exemplo, no R^2, suponhamos que v = a*i + b*j (a, b: reais). 
>Então, um pouquinho de álgebra resulta em:
>(f(x_0 + t*v) - f(x_0))/t = 
>a*(f(x_0 + ta*i + tb*j) - f(x_0 + tb*j))/(ta) + b*(f(x_0 + tb*j) -
f(x_0))/>(tb).

Aqui hah um detalhe sutil. A passagem ao limite, conforme abaixo, naum
procede. Ocorre aqui um fato que eh uma dor de cabeca para quem trabalha com
algoritmos de otimizacao em problemas naum lineares. A existencia das
derivadas parciais em um ponto NAUM implica a existencia de todas a
derivadas direcionais (eu agora estou aproveitando uma folga no trabalho,
depois dou um exemplo de uma funcao deste tipo). A existencia desta ultimas
NAUM implica continuidaee e menos ainda difereciabilidade. Aquela classica
formula do produto interno do gradiente pelo vetor v eh sem duvida valida
quando a f eh diferenciavel no ponto em questao (estah eh uma condicao
suficiente, embora naum necessaria). Se f naum for diferenciavel, cada caso
eh um caso....
Lembro que, contrariamente ao que as vezes se julga, no caso do R^n, n>=2,
dizer que f eh diferenciavel em x  naoum signfica que suas deivadas parciais
existam em x, mas sim que, numa vizinhanca de x, f possa ser aproximada por
uma funcao linear. Mais especificamente, significa que existe uma funcao
linear L: R^n -> R tal que, para todo h tal que x+h esteja no dominio de f,
tenhamos f(x+h) - f(x) = L(h) + o(||h||), sendo o uma funcao tal que
o(h)/(||h||) -> 0 quando ||h||->0.  A funcao L eh conhecida como a derivada
(ou derivada total) de f em x. Demonstra-se facilmente que, para todo vetor
v do R^n,  L(v) = grad_f(x)*v, produto escalar, que eh aquela conhecida
formula muito ensinada sem a devida profundidade em curso de Engenharia
(bom, talvez naum seja mesmo preciso chegar a estes detalhes na Engenharia).

Hah algumas conclusoes interessantes

Se as derivadas parciais de f existirem e forem limitadas em uma vizinhanca
de x, entao f eh continua em x.

Uma condicao suficiente (mas naum necessaria) para que f seja diferenciavel
em x eh que uma das derivadas parciais de f exista em x e as demais sejam
continuas em x e existam em uma vizinhanca de x (a continuidade soh eh
exigida em x. Este fato nao me parece ser muito conhecido. A sua prova, que
naum eh muito complicada, eh linda para quem gost de analise)
A maioria dos livros apresenta uma prova assumindo que todas as derivadas
parcias existam numa vizinhanca de x e sejam continuas em x. Mas, na
realiddae, basta a outra hipotese mais fraca.

Bom, jah repeti demais o que estah em todo bom livro de Analise.
Abracos
Artur


>Fazendo t -> 0, teremos que:
>Dv(f)(x_0) = a*(df/dx)(x_0) + b*(df/dy)(x_0) ==>
>Dv(f)(x_0) = < grad(f)(x_0) , v > = produto interno usual de grad(f) no
>ponto x_0 e v.

>Se tudo acima estiver certo, então a existência das derivadas parciais no
>aberto implica a existência das derivadas direcionais.

[]s,
Claudio.

De:owner-obm-l@mat.puc-rio.br

Para:obm-l@mat.puc-rio.br

Cópia:

Data:Wed, 5 May 2004 18:08:13 -0300

Assunto:Re: [obm-l] derivadas parciais

  

> 
> > Se as derivadas parciais de f existriem em um aberto e
> > forem limitadas no mesmo, então isto implica que todas
> > as derivadas direcionais de f existam neste aberto? Eu
> > estou tentando provar isso, mas não estou certo. 
> 
> >>Este eu não sei, este tipo de coisa é delicado e eu não acho
> >>tão interessante; vou pensar.
> 
> Eu acho que eu vi esta prova hah muito tempo num livro de um autor hoje um
> tanto retrogrado, o Richard Courant. O livro dele era muito bom, mas
escrito
> numa epoca (creio que nos anos 40 ou inicio dos 50) em que, por alguma
razao
> obscura, evitava-se falar em conjuntos, tornando a Analise muito mais
> dificil de se entender. 
> Artur
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> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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