RE: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)

[Boromir <boromir@xxxxxxxxxxxx>]

Acho que no enunciado está claro que as figuras obtidas (os
quadriláteros ABMN e NMDC) DEVEM ser trapézios e, portanto devem ter
exatamente um par de lados paralelos. Se MN não é paralelo às bases as
figuras encontradas não são trapézios.
[]'s MP
Em Seg, 2004-05-03 às 17:07, Rogério Moraes de Carvalho escreveu:
> 	Eu já havia resolvido este problema e, se não me engano, ele caiu em
> uma das provas do Colégio Naval. Porém, ao ler o enunciado fornecido pelo
> Victor, eu estranhei a omissão da informação de que o segmento MN que divide
> o trapézio em dois outros trapézios equivalentes é paralelo às bases AB e
> CD. A fim de garantir que a ausência desta informação não garante a
> unicidade do cálculo da medida do segmento MN em função de a e b, eu
> formulei uma outra questão para utilizá-la como um contra-exemplo.
> 
> 
> Vamos ao enunciado da questão que eu formulei baseando-me no problema
> fornecido pelo Victor:
> 
> Seja ABCD um trapézio retângulo de bases AB = 1 e CD = 3 e cujo ângulo
> interno formado entre o lado BC e a base CD é igual a 60°. Dados os pontos M
> e N, pertencentes aos lados não-paralelos, tais que o segmento MN divide
> esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN para cada um
> dos dois casos apresentados abaixo.
> 
> Primeiro caso: MN é perpendicular ao lado BC. (Resposta: sqr(5))
> Segundo caso: MN forma um ângulo de 30° com o prolongamento da base AB no
> sentido de B para A. (Resposta: sqr(10))
> 
> 
> A fim de tentar garantir que as respostas apresentadas estão corretas, eu
> desenvolvi mais de uma solução para cada caso, sendo que uma delas foi por
> Geometria Analítica.
> 
> A resolução apresentada pelo Boromir corresponde a uma das soluções que eu
> havia desenvolvido para o problema original, porém ela somente tem validade
> se no enunciado for informado que o segmento MN é paralelo às bases AB e CD,
> o que não foi o caso do problema proposto pelo Victor. Vamos reformular o
> enunciado para que a resolução do Boromir seja válida e, na seqüência, eu
> apresentarei uma resolução alternativa.
> 
> 
> 
> ENUNCIADO MODIFICADO:
> 
> Dado um trapézio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N
> pertencentes aos lados não-paralelos. Se o segmento MN é paralelo às bases e
> divide esse trapézio em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN em
> função dos lados AB = a e CD = b.
> 
> 
> RESOLUÇÃO ALTERNATIVA:
> 
> Considere CD = b como a base maior e AB = a como a base menor, logo b > a,
> MN = x, H a distância entre a AB e MN e h a distância entre MN e CD. Também
> considere que o ponto M pertence ao lado DA e o ponto N ao lado BC.
> 
> Trace uma paralela ao lado DA passando pelo vértice B do trapézio, de modo a
> interceptar o segmento MN no ponto E e a base CD no ponto F. Deste modo,
> ABEM e MEFD são paralelogramos, conseqüentemente tem os lados opostos
> congruentes. Portanto: ME = AB = a e DF = ME = a.
> MN = ME + EN => x = a + EN => EN = x - a
> DC = DF + FC => b = a + FC => FC = b - a
> 
> Triângulo BEN ~ Triângulo BFC (Critério AA~):
> FC/EN = (H + h)/ H => (b - a)/(x - a) = 1 + h/H =>
> => (b - x)/(x - a) = h/H (i)
> 
> De acordo com os dados, os trapézios ABNM e MNCD são equivalentes, logo:
> S[ABNM] = S[MNCD] => (1/2).(x + a).H = (1/2).(b + x).h =>
> => (x + a)/(b + x) = h/H (ii)
> 
> Aplicando a propriedade transitiva nas igualdades (i) e (ii):
> (b - x)/(x - a) = (x + a)/(b + x) => x^2 - a^2 = b^2 - x^2 =>
> => 2x^2 = a^2 + b^2 => x = sqr[(a^2 + b^2)/2]
> 
> Resposta: MN = sqr[(a^2 + b^2)/2]
> 
> 
> 
> Aplicando a fórmula encontrada para resolver o problema do trapézio
> retângulo com bases AB = 1 e CD = 3 e <BCD = 60°, apresentado acima,
> teremos:
> MN = sqr[(1^2 + 3^2)/2] = sqr(10/2) = sqr(5)
> 
> Observe que o valor encontrado na aplicação da fórmula coincide com o valor
> encontrado no primeiro caso, mas difere do valor encontrado no segundo caso.
> Portanto, a informação de que MN é paralelo às bases é necessária para
> garantir a unicidade do comprimento de MN em função de a e b, uma vez que
> com diferentes inclinações podemos encontrar um valor diferente de sqr[(a^2
> + b^2)/2] para o comprimento do segmento MN.
> 
> 
> Atenciosamente,
> 
> Rogério Moraes de Carvalho
> Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informação
> rogeriom@gmx.net
> 
> -----Original Message-----
> From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
> Behalf Of boromir
> Sent: sexta-feira, 30 de abril de 2004 01:09
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re[2]: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)
> 
> Ajeitei o texto (embora não tenha usado nenhum caracter especial) eu tb
> recebi a mensagem truncada.
> []'s MP
> 
> 
> 
> =================
> >De:"Fellipe Rossi" <felliperossi@superig.com.br>
> >Para:<obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Assunto:Re: [obm-l] Geometria Plana - Desafio (?)
> >
> >Boromir não consigo entender nada da mensagem
> >Talvez voce esteja usando mtos caracteres
> >"especiais"...
> 
> MEnsagem alterada:
> 
> Vamos considerar a < b. Seja ainda P o ponto de encontro dos prolongamentos
> dos lados não paralelos DA e CB. Conforme o enunciado, [ABNM]=[NMDB] = S.
> ([figura] = área do figura)
> 
> Vamos considerar [APB]=K.
> APB ~ MPN  (razão a/x, onde MN = x). A razão entre as áreas é o quadrado da
> razão de semelhança, portanto (K+S)/K = (x/a)^2.
> 
> Ainda temos que
> APB~DPC (razão a/b), portanto (K+2S)/K = (b/a)^2.
> 
> Escrevendo melhor as equações acima, temos:
> 1 + S/K = x²/a² -> S/K = (x²-a²)/a²
> 1 + 2S/K = b²/a² -> 2S/K = (b²-a²)/a²
> 
> Dividindo a segunda pela primeira equação temos:
> 2(x²-a²) = b²-a²
> 2x²=b²+a²
> x = SQRT{(a²+b²)/2}
> 
> Se eu não errei as contas acho que é isso.
> []'s MP
> 
> 
> ***************************************************************************
> 
> Em Ter, 2004-04-27 Ã s 18:42, Victor Machado escreveu:
> 
> Bom, esta questão foi um desafio para mim, não sei para os senhores:
> 
> Dado um trapézio ABCD de bases AB = a e CD = b e os pontos M e N
> pertencentes aos lados não-paralelos. Se o segmento MN divide esse trapézio
> em dois outros trapézios equivalentes, calcule MN em função dos lados AB = a
> e CD = b.
> 
> Victor.
> 
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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