Re: [obm-l] derivadas parciais - Correcao

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 04.05.04 18:04, Eduardo Cabral at eduardo_cabral9@hotmail.com wrote:

> 
> Claudio
> 
> Obrigado pela dedicação a essa questão, mas não entendi direito a solução.
> Não sei se é abuso pedir para vc explicar de novo. De qualquer forma vou
> ficar aqui tentando entender.
> 
> Obrigado
> 
Abuso nenhum. Eu soh acho meio complicado lidar com tantos sub-indices num
texto de e-mail. Mas vamos lah...

Como U eh convexo, o segmento [x,y] estarah inteiramente contido em U.

Como U eh aberto, existirao pontos a_0 = x, a_1, a_2, ..., a_(r-1), a_r = y
nesse segmento tais que o cubo n-dimensional cujas arestas sao paralelas aos
eixos coordenados e cujos vertices antipodas sao a_k e a_(k+1) (0<=k<=r-1)
estah inteiramente contido em U.

(no cubo [0,1]x[0,1]x...x[0,1], (0,0,...,0) e (1,1,...,1) sao vertices
antipodas, por exemplo)

No k-esimo cubo, tome um caminho comecando em a_(k-1) e terminando em a_k
composto por n arestas adjacentes do cubo, cada uma delas paralela a um dos
eixos coordenados.

Em cada um desses cubos, a restricao de f a i-esima aresta eh uma funcao de
uma unica variavel real (x_i) e a derivada parcial df/dx_i eh simplesmente a
derivada (uni-dimensional) dessa funcao-restricao. Essa derivada existe e eh
limitada, por hipotese. Sendo assim, podemos aplicar o teorema do valor
medio para funcoes reais de 1 variavel real.

Pra ilustrar, vou supor que U c R^2 e que precisamos tomar apenas um ponto
intermediario z = (z1,z2) no segmento [x,y] = [(x1,x2),(y1,y2)].

Tomemos o caminho: (x1,x2) -> (z1,x2) -> (z1,z2) -> (y1,z2) -> (y1,y2), o
qual consiste de 4 arestas, a 1a. e a 3a. paralelas ao eixo das abscissas e
a 2a. e a 4a. ao eixo das ordenadas.

Pelo tvm , existirao pontos (a,x2), (z1,b), (c.z2) e (y1,d), um em cada
aresta, tais que:
f(z1,x2) - f(x1,x2) = f_1(a)*(z1 - x1)
f(z1,z2) - f(z1,x2) = f_2(b)*(z2 - x2)
f(y1,z2) - f(z1,z2) = f_1(c)*(y1 - z1)
f(y1,y2) - f(y1,z2) = f_2(d)*(y2 - z2)
onde:
f_k(x) = derivada parcial de f em relacao a k-esima coordenada.
 
Tomado valores absolutos, e levando em conta que as derivadas parciais sao
limitadas (por M > 0), teremos:
|f(z1,x2) - f(x1,x2)| <= M*|z1 - x1|
|f(z1,z2) - f(z1,x2)| <= M*|z2 - x2|
|f(y1,z2) - f(z1,z2)| <= M*|y1 - z1|
|f(y1,y2) - f(y1,z2)| <= M*|y2 - z2|

Somando esats desigualdades e usando a desigualdade triangular, obtemos:
|f(y1,y2) - f(x1,x2)| <=
M*(|z1 - x1| + |z2 - x2| + |y1 - z1| + |y2 - z2|) =
M*(|z1 - x1 + y1 - z1| + |z2 - x2 + y2 - z2|) =
M*(|y1 - x1| + |y2 - x2|) =
M * norma da soma(y - x)
 
(podemos escrever |z1 - x1| + |y1 - z1| = |z1 - x1 + y1 - z1| = |y1 - x1|
porque temos x1 <= z1 <= x1  ou  y1 <= z1 <= x1, ou seja z1 - x1 e y1 - z1
tem o mesmo sinal)

Espero que tenha ficado claro o que eu tinha em mente!

A questao eh: voce acha que isso tah certo?


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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