FW: [obm-l] derivadas parciais - Correcao

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Uma correcao: eu disse abaixo que por U ser convexo, o hipercubo K cujos
vertices antipodas (eh assim que se chama?) sao x e y estah contido em U.
Isso nao eh verdade. Mas como U eh aberto, podemos achar uma sequencia de
pontos a_1 = x, a_2, a_3, ..., a_r = y, no segmento [x,y] tais que o
hipercubo cujos vertices antipodas sao a_i e a_(i+1) estah contido em U.

Dai eh soh aplicar a solucao abaixo a cada um desses hipercubinhos e somar
as desigualdades resultantes.

[]s,
Claudio.

----------
From: Claudio Buffara <claudio.buffara@terra.com.br>
Date: Tue, 04 May 2004 13:16:08 -0300
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Subject: Re: [obm-l] derivadas parciais

on 04.05.04 11:26, Eduardo Cabral at eduardo_cabral9@hotmail.com wrote:

> 
> Claúdio
> 
> Na sua resolução vc fez uso do teorema do valor médio, portanto vc supos que
> a restriçao da função ao intervalo fechado cujos extremos são x e y é
> contínua. No entanto, a existência de todas as derivadas parciais num ponto
> não implica a continuidade da função nesse ponto (por exemplo f(x,y)=xy/(x^2
> + y^2) se (x^2 + y^2) <ou> que 0 e f(0,0)=0.).

Claro! (f(h,0) - f(0,0))/h = 0 ==> f_x(0,0) = 0 mas
f_x(x,y) = (y^3 - x^2y)/(x^2 + y^2)^2 eh ilimitada em toda vizinhanca de
(0,0). Obrigado pela correcao.

***

Aqui vai uma ideia:
E se tratarmos de uma variavel de cada vez?

Por exemplo, dados x e y em U, seja K o hipercubo com arestas paralelas aos
eixos que tem x e y como vertices opostos (isto eh, o mais distante possivel
um do outro). Como U eh convexo, K estah contido em U.

Agora, escolha uma sequencia de n arestas adjacentes ligando x a y. Como
cada aresta eh paralela a um dos eixos, podemos tratar a restricao de f
aquela aresta como uma funcao real de 1 variavel real.

Assim, em cada aresta, aplique o teorema do valor medio para funcoes de 1
variavel.

Ou seja, na aresta paralela ao eixo-i, cujas extremidades sao:
a = (y_1,...y_(i-1),x_i,x_(i+1),...,x_n)
e 
b = (y_1,...,y_(i-1),y_i,x_(i+1),...,x_n)
vai existir um ponto c = a + t*(b - a) = (y_1,...,x_i+t*(y_i-x_i),...,x_n)
(0 <= t <= 1) 
tal que: 
f(b) - f(a) = f_i(c)*(b - a) ==>
|f(b) - f(a)| = |f_i(c)|*|b - a| <= M*|y_i - x_i|.

Somando as n desigualdades correspondentes a cada aresta, obteremos:
|f(y) - f(x)| <= M * norma da soma de (y - x).

Que tal lhe parece isso?

[]s,
Claudio.

> A conclusão a que o exercício
> quer te levar é justamente essa: Se f possui derivadas parciais limitadas
> num aberto qualquer ela é contínua(não necessáriamente uniformemente).
> 
> PS: esse é um exercício do elon igual ao que o Fabio Dourado mandou, que por
> sinal também não sei fazer.
> 
> De qualquer forma agradeço pela ajuda.
> 
> Eduardo
> 
> 
> 
>> 
>>> 
>>> Provar: Se f:U --> R possui derivadas parciais, com modulo( df(x)/dxi)<=
>> M
>>> (para i=1,...,m) em todos os pontos do aberto convexo U c R^m entao
>>> modulo(f(x)-f(y))<=M*norma da soma(x-y) para quaisquer x,y pertencentes
>> a U.
>>> 
>>> Agradeço a todos pelas tão prestativas ajudas num e-mail que mandei
>> outro
>>> dia.
>>> 
>>> Muito obrigado
>>> 
>> Sejam x = (x_1,x_2,...,x_m) e y = (y_1,y_2,...,y_m) pertencentes a U.
>> 
>> Entao, o teorema do valor medio diz que existe c = (c_1,c_2,...,c_m)
>> pertencente ao segmento de reta que une x e y tal que:
>> f(y) - f(x) = <grad(f)(c),y - x> = SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i).
>> onde:
>> grad(f)(c) = gradiente de f avaliado no ponto c;
>> f_i(c) = derivada parcial df/dx_i avaliada no ponto c.
>> 
>> Como U eh convexo, c pertence a U.
>> Logo, |f_i(c)| <= M.
>> 
>> Assim, teremos:
>> |f(y) - f(x)| =
>> |SOMA(1<=i<=m) f_i(c)*(y_i - x_i)| <=
>> SOMA(1<=i<=m) |f_i(c)|*|y_i - x_i| <=
>> SOMA(1<=i<=m) M*|y_i - x_i| =
>> M*SOMA(1<=i<=m) |y_i - x_i| =
>> M*norma da soma de (x - y)
>> 
>> 
>> []s,
>> Claudio.
>> 
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>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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