[obm-l] Fatoração

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

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> > Sugestao: fatore x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz.
>
> Vou completar a dica do Claudio pq não sei se é tão fácil assim:
>
Bem, eu supuz que todo mundo sabe que:
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3,
de modo que podemos escrever:
(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)  ==>
x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)   (*)

Isso significa que:
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y)^3 + z^3 - 3xy(x + y + z)    (1)

Usando (*) de novo com (x+y) e z ao invés de x e y, chegamos a:
(x + y)^3 + z^3 = (x + y + z)^3 - 3(x + y)z(x + y + z)     (2)

Finalmente, juntando (1) e (2):
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz =
(x + y + z)^3 - 3(x + y)z(x + y + z) - 3xy(x + y + z) =
(x + y + z)*((x + y + z)^2 - 3(xy + xz + yz)) =
(x + y + z)*(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)

[]s,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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