Re: [obm-l] medias

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

--- "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
wrote:
> On Mon, May 03, 2004 at 07:32:24AM -0300, Claudio
> Buffara wrote:
> > on 03.05.04 02:09, DafnhÅ? Thot at
> dafnhethor@bol.com.br wrote:
> > 
> > > Olá, eu estou com um problema, eu naum consigo
> provar
> > > que a media aritimética de três numeros eh maior
> que a
> > > media geométrica, caso alguém possa me
> ajudar.... pelo
> > > menos alguém deve saber algum site que tenha
> esta
> > > demonstração... obrigado!!!!
> > >
> > Mas isso nao eh verdade. Por exemplo:
> > (1+1+1)/3 = (1*1*1)^(1/3) = 1

Para o caso geral, com n numeros nao negativos, hah
uma demosntracao simples e elegante baseada nas
propriedades da funcao exponencial.
Sejam x_1,...x_n numeros nao negativos e sejam a e g
as respectivas medias aritmetica e geometrica. Se um
dos x_i for nulo, a desigualdade eh imediata, pois g=0
e a>=0. E, neste caso, eh imediato que ocorre
igualdade, com a= g =0, sse todos os x_i forem nulos. 
Supondo-se os numeros todos positivos, para cada
i=1,..n definamos r_i como o desvio relativo de x_i
com relacao aa media aritmetica, isto eh,  r_i = (x_i
-a)/a = x_i/a  - 1 (como os numeros x_i sao positivos,
a>0). Eh imediato que Soma (i=1,n) r_i = 0. Pelas
propriedades da funcao exponencial, para cada i=1,...n
temos e^(r_i) >= 1 + r_i = x_i/a, havendo igualdade
sse r_i =0 <=> x_i =a. Como os dois membros desta
desigualdade sao positivos, multiplicando-se membro a
membro as n igualdades obtidas variando-se i de 1 a n
concluimos que Produto(i=1,n)(e^(r_i)) =
e^(Soma(i=1,n) r_i) = e^0 = 1 >= Produto(i=1,n)
(x_i/a) = (Produto(i=1,n)(x_i))/a^n = g^n/a^n =
(g/a)^n, havendo igualdade sse x_1 =...x_n =a.  Logo,
1 >= (g/a)^n => g<=a. Como vimos, hah igualdade sse os
numeros x_i forem todos iguais. 
Artur



	
		
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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