RE: [obm-l] triangulo

[Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Gabriel,

Segue uma possível resolução para o problema proposto.


Resolução:

Sejam P, Q e R os pontos de tangência da circunferência inscrita nos lados
AB, BC e CA, respectivamente.

Os segmentos com extremidades em um vértice e nos pontos de tangência dos
lados que contêm este vértice são congruentes. Portanto, podemos escrever:
AP = RA = x
PB = BQ = y
QC = CR = z

Como AB = 8, BC = 5 e CA = 9, teremos:
AB = AP + PB => 8 = x + y (i)
BC = BQ + QC => 5 = y + z (ii)
CA = CR + RA => 9 = z + x (iii)

Adicionando, membro a membro, as igualdades (i), (ii) e (iii), teremos:
2(x + y + z) = 22 => x + y + z = 11 (iv)

Substituindo a igualdade (ii) na (iv):
x + (y + z) = 11 => x + 5 = 11 => x = 6, logo AP = RA = 6 (v)


Cálculo do raio da circunferência inscrita:

A área do triângulo ABC pode ser calculada em função dos lados (a, b, c)
pela fórmula de Heron:
S = sqr[p.(p - a)(p - b)(p - c)] (vi)
Ou em função dos lados (a, b, c) e do raio da circunferência inscrita (r)
pela fórmula:
S = p.r (vii)

Aplicando a propriedade transitiva às igualdades (vi) e (vii), concluímos
que:
p.r = sqr[p.(p - a)(p - b)(p - c)] => r = sqr[p.(p - a)(p - b)(p - c)]/p
(viii)
p = (a + b + c)/2 => p = (8 + 5 + 9)/2 => p = 11
Aplicando a fórmula (viii):
r = sqr(11.3.6.2)/11 => r = 6.sqr(11)/11 (ix)

Com as informações das igualdades (v) e (ix), podemos calcular a área
hachurada (S).
Seja I o incentro do triângulo ABC, S[Triângulo API] a área do triângulo API
e S[Setor Circular <AIP] a área do setor circular com ângulo central <AIP,
teremos:
S = 2.(S[Triângulo API] - S[Setor Circular <API]) (x)

S[Triângulo API] = AP.PI/2 = x.r/2 = 6.[6.sqr(11)/11]/2 = 18.sqr(11)/11 (xi)
Triângulo API: tg(<PIA) = x/r = 6/[6.sqr(11)/11] = sqr(11) => <PIA =
arctg[sqr(11)] (em radianos)
S[Setor Circular <API] = <PIA.r^2/2 = arctg[sqr(11)].(36/11)/2 = 18.
arctg[sqr(11)]/11 (xii)

Substituindo as igualdades (xi) e (xii) na (x):
S = 2.{18.sqr(11)/11 - 18. arctg[sqr(11)]/11}
S = (36/11).{sqr(11) - arctg[sqr(11)]}

Resposta: A área hachurada é igual a (36/11).{sqr(11) - arctg[sqr(11)]}, com
arctg[sqr(11)] dado em radianos.

Obs.: Na resolução deste problema foram aplicadas fórmulas e teoremas bem
conhecidos.

Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho
rogeriom@gmx.net
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From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of gabriel
Sent: sábado, 1 de maio de 2004 15:54
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] triangulo

Bom me proporam esta questão mas eu achei uma resposta muito
estranha.Gostaria de ver a resolução de vcs.Vou mandar uma figura anexa pois
o problema me foi proposto so com a figura sem o enunciado.
Aqui vai 
Em um triangulo ABC, AB = 9 , AC = 8 , BC = 5 e nele há uma circuferencia
inscrita. Qual  a area da região q esta acima do circulo no triangulo pelo
vertice A.
 
 



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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