Re: [obm-l] envoltória convexa e conjuntoscompactos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Artur e Eduardo:

Eu achei esses dois problemas interessantes tambem e tive uma ideia que
talvez funcione. Gostaria da opiniao de voces.

Problema 2:
Suponhamos que X nao seja compacto.

Se X nao for limitado, entao acabou, pois X eh homeomorfo a si mesmo.

Se X for limitado, entao X nao eh fechado. Logo, vai existir uma sequencia
(x(n)) de pontos de X que converge para um ponto "a" fora de X.

Considere a funcao F que leva cada ponto x de X num ponto F(x) tal que:
i) x, a e F(x) sao colineares, com a entre x e F(x);
ii) dist(F(x),a) = 1/dist(x,a).
Seja Y = F(X).

Entao, F eh um homeomorfismo entre X e Y e, alem disso, Y eh ilimitado, pois
dado A > 0, existe N tal que:
n > N ==> dist(x(n),a) < 1/A ==> dist(F(x(n)),a) > A

Ou seja, se X nao for compacto, entao X eh homeomorfo a um conjunto
ilimitado.

***

Problema 3:
Suponhamos que X nao seja compacto.

Se X nao for fechado, entao acabou, pois X eh homeomorfo a si mesmo.

Se X for fechado, entao X eh ilimitado.

Se X = R^n, entao acabou, pois R^n eh homeomorfo a qualquer bola aberta, a
qual nao eh fechada.

Se X <> R^n, entao vai existir um ponto "b" que nao pertence a X.

Considere a funcao F que leva cada ponto x de X num ponto F(x) tal que:
i) x, b e F(x) sao colineares, com b entre x e F(x);
ii) dist(F(x),b) = 1/dist(x,b).
Seja Y = F(X).
 
Da mesma forma que acima, F eh um homeomorfismo entre X e Y e, alem disso,
como X eh ilimitado, para cada eps > 0, existe x em X tal que:
dist(x,b) > 1/eps ==> dist(F(x),b) < eps ==> b eh aderente a Y.

No entanto, dist(x,b) > 0 ==> dist(F(x),b) > 0 ==> b nao pertence a Y ==>
Y nao eh fechado.

Ou seja, se X nao eh compacto, entao X eh homeomorfo a um conjunto que nao
eh fechado.


[]s,
Claudio. 

on 29.04.04 15:58, Artur Costa Steiner at artur_steiner@yahoo.com wrote:

> Hah pouco tempo circularam nesta lista alguns
> problemas bem semelhantes ao 2 e ao 3.
> Acho que ainda naum foram apresentadas solucoes. Eu
> achei que tinha uma mas me enganei. Espero colaborar
> dentro de alguns dias, mesmo que, o que eh provavel, a
> solucao naum seja minha.
> Artur
> 
> 
> 
> --- Eduardo Cabral <eduardo_cabral9@hotmail.com>
> wrote:
>> Gostaria de ajuda nos seguintes problemas:
>> 
>> 1)Dado X c R^n, a envolt?ria convexa de X ? a
>> interse??o C(X) de todos os
>> subconjuntos convexos de R^n que cont?m X. Prove que
>> C(X) ? o conjunto de
>> todas as combina??es lineares a_1*x_1+...+a_k*x_k
>> tais que x_1,...,x_k
>> pertencem a X , a_1>=0, ..., a_k>=0 e a_1+...+a_k=1
>> 
>> 
>> 2)Seja X c R^n . Se todo conjunto homeomorfo a X for
>> limitado ent?o X ?
>> compacto.
>> 
>> 3)Se todo Y c R^n homeomorfo a X for fechado ent?o X
>> ? compacto.
>> 
>> valeu
>> 
>

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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