Re: [obm-l] Probabilidade Discreta - Problema de "gente grande"..

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

Prove or disprove: If X, Y, and Z are random variables
with the property
that all three pairs (X, Y), (X, Z) and (Y, Z) are
independent, then X + Y
is independent of Z.
--- x ---

Bayes: Pr[A|B].Pr[B] = Pr[A e B]

Suponha que Pr[Z=z] > 0,
Pr[X + Y = k | Z = z] = Soma_{j = -oo, +oo} Pr[X = j e Y = k - j | Z = z]
...Usando Bayes, temos
= Soma_{j = -oo, +oo} Pr[X = j e Y = k - j e Z = z]/Pr[Z=z]
...usando independência dos 3 pares
= Soma_{j = -oo, +oo} Pr[X = j]Pr[Y = k - j].Pr[Z = z]/Pr[Z=z] =
= Soma_{j = -oo, +oo} Pr[X = j]Pr[Y = k - j] = Pr[X + Y = k]

Pr[X + Y = k | Z = z] = Pr[X + Y = k],
X+Y é independente de Z.

PS: Note que se Pr[Z=z] = 0, não faz muito sentido em condicionar a
probabilidade no evento Z=z que nunca ocorre.

PS2: Se X, Y são contínuas troque Soma por Integral e Pr pela função
densidade das variáveis, acho que não preciso fazer uma demonstração a
parte, né?

[ ]'s

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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