Re: [obm-l] algebra linear

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 28.04.04 22:27, Carlos bruno Macedo at cabrmacedo@hotmail.com wrote:

> 
> 
> 1)Sejam A,B pertencentes a R^(n^2), A anti-simétrica e B com traço
> nulo.Mostre que para todo t real, exp(tA) é ortogonal e exp(tB) tem
> determinante 1.
> 

exp(X) = I + X + X^2/2 + ... + X^n/n! + ...

Logo, (exp(X))' = I + X' + (X^2)'/2 + ... + (X^n)'/n! + ... ==>
(exp(X))' = I + X' + (X')^2/2 + .. + (X')^n/n! + ... = exp(X')

(X' = transposta de X)

Alem disso, tambem vale exp(X)*exp(Y) = exp(X+Y).

A eh antisimetrica ==> A' = -A ==> A + A' = 0

Logo:
exp(tA)*(exp(tA))' = exp(tA)*exp(tA') = exp(t(A+A')) = exp(0) = I ==>
exp(tA) eh ortogonal.

***

Fixado um real t, sejam k1, k2, ..., kn os autovalores de tB (possivelmente
complexos e possivelmente repetidos).

traco(B) = 0 ==>
traco(tB) = 0 ==>
k1 + k2 + ... + kn = 0 ==>
exp(k1 + k2 + ... + kn) = 1 ==>
exp(k1)*exp(k2)*...*exp(kn) = 1 ==>
det(exp(tB)) = 1


[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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