Re: [obm-l] Convergencia

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Apr 26, 2004 at 01:32:49PM -0300, Tertuliano Carneiro wrote:
> Se uma sequencia de funcoes monótonas converge
> simplesmente para uma funçao continua num intervalo I,
> entao a convergencia é uniforme em cada parte compacta
> de I. 

Suponha sem perda de generalidade que I = [0,1] e vamos provar
a convergência uniforme em [0,1].

Sejam f, f0, f1, ..., fn, ... funções, f contínua, fn não decrescentes
e suponha que para todo x em [0,1] temos lim_{n -> infty} fn(x) = f(x).
Dado eps > 0, seja M um inteiro positivo tal que
 |x - x'| < 1/M  implica  |f(x) - f(x')| < eps/2.
Considere os pontos 0/M, 1/M, ..., k/M, ..., M/M = 1.
Seja N tal que n > N implica |fn(k/M) - f(k/M)| < eps/2.
Dado um x em [0,1] qualquer, escreva k/M <= x <= (k+1)/M.
Temos |f(x) - f(k/M)| < eps/2 e |fn(k/M) - f(k/M)| < eps/2  
donde |f(x) - fn(k/M)| < eps. Analogamente |f(x) - fn((k+1)/M)| < eps.
Como fn(k/M) <= fn(x) <= fn((k+1)/M) temos |f(x) - fn(x)| < eps.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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