Re: [obm-l] DUVIDA - Trigonometria

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] DUVIDA - Trigonometria

on 23.04.04 15:46, João Silva at d79i3mn8@yahoo.com.br wrote:

Alguem pode me ajudar nesta questão:

- Mostre que não existe x tal que sen x . sen 2x. sen 3x = 4 / 5

---

Seja F:R -> R dada por F(x) = sen(x)*sen(2x)*sen(3x).

A ideia eh obter uma cota superior para F(x) que seja inferior a 4/5.

Eh facil ver que F eh periodica de periodo Pi.

Alem disso, F(x) eh positiva em [0,Pi) se e somente se:
0 < x < Pi/3  ou  Pi/2 < x < 2Pi/3.

Logo, para calcular uma cota superior para F(x), basta considerar valores de x nestes intervalos:

0 < x <= Pi/4 ==>
sen(x) <= sen(Pi/4) = raiz(2)/2 < 4/5 ==>
F(x) < 4/5

Pi/4 < x < Pi/3 ==>
sen(x)*sen(3x) < sen(Pi/3)*sen(3Pi/4) = raiz(3)/2*raiz(2)/2 = raiz(6)/4 < 4/5 ==>
F(x) < 4/5

Pi/2 < x <= 7Pi/12 ==>
sen(2x)*sen(3x) <= sen(7Pi/6)*sen(3Pi/2) = (-1/2)*(-1) = 1/2 < 4/5 ==>
F(x) < 4/5

7Pi/12 < x < 2Pi/3 ==>
sen(2x)*sen(3x) <= sen(4Pi/3)*sen(7Pi/4) = (-raiz(3)/2)*(-raiz(2)/2) = raiz(6)/4 < 4/5 ==>
F(x) < 4/5.

Repare que a analise acima provou um pouco mais do que pedia o enunciado, a saber, que F(x) < raiz(6)/4 ~ 0,6124 < 0,8.


[]s,
Claudio.