Re: [obm-l] Dúvidas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 24.04.04 18:13, rafsanco at rafsanco@bol.com.br wrote:

> Saudações !
> 
> Sou novato na lista, a qual admiro muito por abrigar
> tantas pessoas talentosas e por incentivar a resolução
> de questões tão interessantes e inteligentes. Ando com
> problemas em um exercício que vi num número da Eureka!
> (não recordo qual) e era acerca de triângulos:
> 
> Demonstrar que em qualquer triângulo ABC, de lados com
> medidas iguais a a, b e c que a³ + b³ + 3abc > c³.
> (Tentei utilizar e combinar desigualdades, tais quais:
> (a + b + c)³ > 0, (b + c - a)³ > 0, (c + a - b)³ > 0,
> (a + b - c)³ > 0 e ainda (a + b)(b + c)(a + c) > abc,
> além de outras, no entanto nada de interessante
> apareceu)
> 
> Ajudem-me por gentileza.
> 
> Abraços,
> 
> Rafael.
> 
Oi, Rafael:

Duvidas da Eureka sao sempre bem-vindas na lista.

Antes de mais nada, um pedido: procure nao usar caracteres especiais pois
eles nao aparecem direito em alguns computadores (por exemplo, no meu).
Assim, se voce quiser dizer x ao cubo, escreva x^3.

Sobre o problema, sabemos que que c < a + b.

Considere a funcao polinomial f(x) = x^3 - 3abx - (a^3+b^3).
f(a+b) = (a+b)^3 - 3ab(a+b) - (a^3+b^3) = 0.

Dividindo f(x) por x-(a+b), obtemos o quociente:
g(x) = x^2 + (a+b)x + (a^2-ab+b^2),
cujo discriminante eh igual a -3*(a+b)^2 < 0.

Logo, a+b eh a unica raiz real de f(x).
Isso significa que f(x) < 0 para x < a+b e f(x) > 0, para x > a+b.
Em particular, como c < a+b, temos f(c) < 0, ou seja:
c^3 - 3abc - (a^3+b^3) < 0 ==>
a^3 + b^3 + 3abc > c^3.

[]s,
Claudio.


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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