RE: [obm-l] DUVIDA - Trigonometria

[Rogério Moraes de Carvalho <rogeriom@xxxxxxx>]

Para que o enunciado desta questão fique preciso é importante citar não
existe x real, pois existe solução no campo dos complexos. Sendo assim,
segue a resolução da questão:
"Mostre que não existe x real tal que sen(x). sen(2x).sen(3x) = 4/5."

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Resolução:
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Na resolução serão usadas as seguintes identidades trigonométricas, que são
conseqüências diretas das fórmulas de seno e co-seno da adição e subtração
de dois ângulos.
cos(a - b) - cos(a + b) = 2.sen(a).sen(b) (i)
sen(a + b) + sen(a - b) = 2.sen(a).cos(b) (ii)
sen(2a) = 2.sen(a).cos(a)                 (iii)

sen(x).sen(2x).sen(3x) = 4/5

Reorganizando os fatores do primeiro membro e multiplicando ambos os membros
da igualdade por 2, teremos:
[2.sen(3x).sen(x)].sen(2x) = 8/5

Aplicando a identidade (i) ao primeiro membro da igualdade, teremos:
[cos(3x - x) - cos(3x + x)].sen(2x) = 8/5
sen(2x).cos(2x) - sen(2x).cos(4x) = 8/5

Multiplicando ambos os membros da igualdade por 2, teremos:
2.sen(2x).cos(2x) - 2.sen(2x).cos(4x) = 16/5

Pelas identidades (ii) e (iii), teremos:
sen(2.2x) - [sen(2x + 4x) + sen(2x - 4x)] = 16/5
sen(4x) - sen(6x) - sen(-2x) = 16/5
sen(2x) + sen(4x) + sen(-6x) = 16/5 (iv)

O seno de um número real sempre está no intervalo de -1 até 1. Portanto,
podemos concluir que:
-1 <= sen(2x) <= 1 (v), qualquer que seja o x real
-1 <= sen(4x) <= 1 (vi), qualquer que seja o x real
-1 <= sen(-6x) <= 1 (vii), qualquer que seja o x real

Adicionando, membro a membro, as desigualdades (v), (vi) e (vii), teremos:
-3 <= sen(2x) + sen(4x) + sen(-6x) <= 3 (viii)

Pela igualdade (iv), devemos ter:
sen(2x) + sen(4x) + sen(-6x) = 16/5 > 3. Pela desigualdade (viii) podemos
concluir que a igualdade é impossível qualquer que seja o x real. Ou seja,
não existe x real tal que sen(x). sen(2x).sen(3x) = 4/5.

Atenciosamente,

Rogério Moraes de Carvalho
Consultor e Instrutor de Tecnologias da Informação
rogeriom@gmx.net
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From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of João Silva
Sent: sexta-feira, 23 de abril de 2004 15:46
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] DUVIDA - Trigonometria

Alguem pode me ajudar nesta questão:
 
- Mostre que não existe x tal que sen x . sen 2x. sen 3x = 4 / 5

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