Re: [obm-l] derivada

[Artur Costa Steiner <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Segundo o enunciado, a funcao f:I-> R^n eh do tipo f(x) =
(f_1(x),....f_n(x)), sendo f_1,...f_n as componentes de f, ou seja, funcoes
de I em R^n. f eh uma funcao vetorial de veriavel real. Admitindo-se que as
funcoes f_1, ...f_n sejam diferenciaveis em I, temos entao que f'(x) =
(f'_1(x),....f'_n(x)).
Afirmar que, em um ponto u, f e f' sao perpendiculares, significa dizer que
o produto escalar f(u).f'(u) dos vetores f(u) e f'(u) eh nulo.  Logo,
f_1(u)*f'_1(u) ...  + ..f_n(u)*f'_n(u) =0. Analisando-se o primeiro membro
desta expressao, vemos que o mesmo eh 1/2 * d/dx(f(x).f(x) |x =u  =1/2 *
d/dx ||f(x||^2 | x=u, ou seja, eh a metadade da derivada, computada no ponto
u, da funcao de I em [0, inf) que, a cada x associa, o quadradao da norma
euclidiana de f.
Como f eh diferenciavel, logo continua, a funcao ||f||^2 e continua e
diferenciavel. O enunciado afirma portanto que a derivada desta funcao se
anula em algum u de I. Soh que eu acho que isto naum eh verdade. Uma
situacao em que seria certamente verdade eh se ||f(a)|| = ||f(b||, sendo a e
b os pontos extremos de I. Neste caso, a conclusao seria uma imediata
consequencia do Teorema de Rolle. Mas, de modo geral, a afirmacao eh falsa.
Suponhamos, por exemplo, que f(x) = (x,x) e que I = [0,1]. Entao, f'(x) =
(1,1) e, para todo x em I, f(x).f'(x) = 2x, que nunca se anula em I.  
Artur  


--------- Mensagem Original --------
De: obm-l@mat.puc-rio.br
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] derivada
Data: 21/04/04 21:16

Alguém pode me explicar o seguinte:

Considerando uma aplicação cujo domínio é um intervalo I fechado da reta e o

contra-domínio é o R^n, deve existir um número pertencente ao interior de I 
cuja imagem e sua derivada são perpendiculares.

obrigado

_________________________________________________________________
MSN Messenger: converse com os seus amigos online. 
http://messenger.msn.com.br

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

________________________________________________
OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================