[obm-l] Problema sobre funcao diferenciavel em R

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Hah alguns anos eu me deparei com o problema que vou
descrever. Achei uma solucao, mas, um professor de
Analise, alias profundo conhecedor, naum gostou de
minha solucao, classificando-a de artificial. Mas ele
naum deu uma solucao "natural" e eu ateh hoje naum
achei uma melhor que a minha artificial.

Sejam a<>0 um real e f:R->R tal que lim (x-> inf) f(x)
+ a*f'(x) = L (1), L em R.  
Se a>0, entao lim (x-> inf) f'(x) = 0 (2) e lim (x->
inf) f(x) = L/a (3).
Se a<0, entao (2) e (3) ocorrem se, e somente se, lim
(x -> inf) (e^(a*x))*f(x) = 0. 

Definamos g e h de R em R por g(x) = e^(a*x) * f(x) e
h(x) = e^(a*x). g nunca se anula, tendo-se entao que f
= g/h em todo R. Temos ainda que g'(x)
=(e^(a*x))*(f'(x) + a*f(x)), h'(x) = a* e^(a*x) e
g'(x)/h(x) = (f'(x) + a*f(x))/a para todo x em R. Em
virtude de (1), segue-se entao que lim (x-> inf)
g'(x)/h'(x) = L/a

Se a>0, entao g(x) -> inf quando x -> inf. Da
existencia de lim (x-> inf) g'(x)/h'(x), a Regra de
L'Hopital eh aplicavel, dela deduzindo-se que lim (x->
inf) f(x) = lim (x -> inf) g(x)/h(x) = lim (x-> inf)
g'(x)/h'(x) = L/a. Considerando-se (1), temos entao
que lim (x->) inf f'(x) = 0, completando a prova para
a>0.

Se a<0, entao lim (x->inf) h(x) =0. Se,
adicionalmente, tivermos, lim (x->inf) (e^(a*x))*f(x)
= lim (x->inf) g(x) = 0, entao podemos novamente
aplicar a Regra de L'Hopital, desta vez na forma 0/0,
e chegar exatamente aa mesmas conclusoes do caso a>0.
Mas se lim (x->inf) (e^(a*x))*f(x) = 0, naum se
verificar, entao, para todo k>0, f eh ilimitada em [k,
inf), pois, de outra forma, lim (x->inf)
(e^(a*x))*f(x) = 0 seria necessariamente verdade.
Logo, f naum apresenta limite no infinito, o que
impossibilita (3) e, portanto (2). 

O cara achou esta prova artificial por causa da
introducao fas funcoes g e h e do uso da Regra de
L´Hopital.

Artur


	
		
__________________________________
Do you Yahoo!?
Yahoo! Photos: High-quality 4x6 digital prints for 25¢
http://photos.yahoo.com/ph/print_splash
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================