Re: [obm-l] metodo do pto fixo ou aproximacoes sucessivas ou substituicoes

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caro Niski,
   Desculpe, so' agora vi a sua mensagem.
   Temos f'(x)=2+sen(x), que e' sempre maior que 0 entre 0 e pi/2, donde f
e' crescente, e logo, como f(0)=-1 e f(pi/2)=pi, f tem uma unica raiz entre
0 e pi/2. 
   Como phi'(x)=-sen(x)/2, que tem modulo sempre menor ou igual a 1/2, segue
que |x(i+2)-x(i+1)|=|phi(x(i+1))-phi(x(i))|<=(1/2).|x(i+1)-x(i)|, pelo
teorema do valor médio. Assim, por inducao, para todo n natural temos
|x(n+1)-x(n)|<=(1/2)^n.|x(1)-x(0)|, e dai' segue que  x(n) e' uma sequencia 
de Cauchy, e logo converge a um certo c real, e como x(n+1)=phi(x(n)) e phi
e' contínua segue que c=phi(c)=cos(c)/2, donde f(c)=2c-cos(c)=0. Como, se x
esta' em I entao cos(x)/2 tambem esta' em I, segue que c esta' em I, donde c
e' a única raiz x' de f(x) em I.
   Por outro lado eu não vejo porquê o fato de a seqüência x(n) convergir
para x(0)=0 e para x(0)=pi/2 garante que x(n) convirja para todo x(0) em I
sem consideraçoes adicionais.
   O fato crucial que usamos sobre a função phi e' que existe k com 0<k<1
tal que |phi(y)-phi(x)|<=k.|y-x| para quaisquer x,y em I (i.e., phi e' uma
contração), além de phi(I) estar contido em I. Isso garante que o método das
aproximações sucessivas converge (para todo x(0) em I) para o único ponto
fixo de phi em I, i.e., o único c em I com phi(c)=c, sempre que I for um
intervalo fechado (e limitado).
   Abraços,
            Gugu
    
>
>Pessoal, gostaria da ajuda de voces para saber se eu estou pensando 
>corretamente.
>
>Seja a funcao f(x) = 2x - cos(x) que possui uma raiz x' em I = [0, pi/2]
>é pedido para provar que para *qualquer* x[0] em I, a sequencia
>x[i] = phi(x[i-1]) = cos(x[i-1])/2 , i >= 1 converge para x'.
>
>Bom pessoal no item anterior, eu provei que o processo iterativo
>x[0] = 0, x[i] = phi(x[i-1]) = cos(x[i-1])/2 , i >= 1 convergia para x' 
>(Eu prove isto mostrando  que x' é ponto fixo de phi, que phi e phi' sao 
>continuas em I, que o modulo da derivada de phi é menor que 1 e que se 
>x[0] esta em I entao x[i] tb esta para qualquer i >=1)
>
>Eu vi que para x[0] = 0, o processo convergia pois 0 é o extremo de I 
>mais proximo da raiz (tomei o ponto medio de I...e etc) Então para 
>provar que para qualquer x[0] em I a sequencia converge, não basta eu 
>mostrar que para x[0] = pi/2 a sequencia tambem converge? Se for isso é 
>facil pq phi(pi/2) = 0, assim x[1] = 0 e como eu ja vi que para x[0] = 0 
>a sequencia convege, obviamente para x[1] = 0 ela tambem convergeria.
>Isso esta certo?
>
>Outra pergunta, de modo geral, dado que x[i] = phi(x[i-1]) = uma funcao 
>qualquer  com i >= 1, existe algum bom caminho para ver se existe um 
>x[0] em I tal que sequencia convirja para x'?
>
>Obrigado a todos!
>
>-- 
>Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski
>
>"When we ask advice, we are usually looking for an accomplice."
>Joseph Louis LaGrange
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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