Re: [obm-l] Problemas de Olimpiadas

[André Araújo <araujoime@xxxxxxxxxxx>]

Olimpiada da India - 1995:
Problema 1) Seja ABC um triangulo acutangulo com A = 30. H eh o ortocentro e
M  o ponto medio de BC. T  eh um ponto em HM tal que HM = MT. Mostre que AT
= 2 BC.
Solucao:
Fazendo a figura fica mais facil o entendimento.
i) ang HMB = ang TMC (oposto pelo vertice);
ii) HM = MT e BM = CM (hipoteses do problema).

De i) e ii) conclui-se que os triangulos BMC e CMT sao congruentes (caso
LAL).
Assim, CT // BH  e BT // CH.
Ou seja, CT eh perpendicular a AC e BT eh perpendicular a AB.
Dai, o quadrilatero ABTC eh inscritivel (ang ABT = ang ACT =90) e AT eh o
diametro da circunferencia.
Seja O o ponto medio de AT (centro da circunferencia circunscrita ao
quadrilatero ABTC).
iii) ang BAC = 30, entao ang BOC = 60 (angulo central);
iv) OB = OC = AT/2.
De iii) e iv) conclui-se que o triangulo OBC eh equilatero, logo BC = AT/2
=> AT = 2BC.

Abs, AA.



> Oi, pessoal:
>
> Como fui eu quem deu a ideia de resolver, aqui na lista, problemas de
> olimpiadas ainda sem solucao no site do John Scholes, aqui vai a primeira
> contribuicao pro projeto. Eu adoraria ver mais gente participando.
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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