RE: [obm-l] serie divergente! (linda solução)

Sem comentários... muito obrigado!!!!

Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com> wrote:

Ola "Thiago" e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

A sua serie inicia para n=2. Claramente que :

4*log(4) > 2*log(2) e 4*log(4) > 3*log(3). E portanto :
1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) < 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3)). Logo :
(1/2)*(1/log(4)) < 1/(2*log(2)) + 1/(3*log(3))

E Igualmente claro que :
8*log(8) > 4*log(4) , 8*log(8) > 5*log(5) , 8*log(8) > 6*log(6) e 8*log(8)
> 7*log(7).
Invertendo e somando membro a membro, chegaremos a :
(1/2)*(1/log(8)) < 1/(4*log(4)) + 1/(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) +
1/(7*log(7))

Evidentemente que voce pode generalizar o passo acima, algo bastante facil.
Apos isso note
que log(4) = 2*log(2), log(8)=3*log(2), ... Logo, voce podera colocar
(1/2)*(1/log(2)) em
evidencia. Isso vai fornecer :

(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... )*(1/2)*(1/log(2)) < 1/(2*log(2)! ) +
1/(3*log(3)) + ...

Como 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... diverge, entao, por comparacao, a sua serie
diverge.

O "jeitao" da sua serie - 1/(n*log(n)) - claramente SUGERE uma comparacao
com a serie harmonica.
Eis a razao de eu ter adotado este caminho. Mas existe muitos outros ...

De maneira geral, se A1, A2, ... e uma PA entao 1/A1 + 1/A2 + ... diverge.
Isso evidencia que
em outros contextos pode ser mais conveniente usar uma outra serie
divergente, tambem
aritmetica, porem nao a harmonica. Um outro fato notabilissimo e que se A1,
A2, ... e uma PA
entao 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... converge. Assim, se mostrarmos que uma
serie B1+B2+..
e tal que B1 + B2 + B3 +... < 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... onde A1, A2 e
uma PA, entao concluimos
que B1 + B2 + B3... converge.

Estou falando de series de termos positivos. Os fatos acima podem ser
facilmente provados e ficam
como exercicios

Por fim, talvez mais interessante que tudo isso e verificar que que a toda
Progressao Aritmetica
A1, A2, A3, ... a serie 1/A1 - 1/A2 + 1/A3 - ... induz um TRIANGULO
HARMONICO, isto e,
caracteriza-o univocamente. Um exemplo classico e o TRIANGULO DE LEIBNIZ :

1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4
...

Se fizermos NIC = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... entao para cada coluna
existe uma sequencia
C1, C2, ... que devolve NIC, isto e, o valor caracteriza precisamente o
triangulo.

Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,1902,150404

>From: Thiago Ferraiol
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] serie divergente!
>Date: Wed, 14 Apr 2004 20:30:58 -0300 (ART)
>
>Alguém sabe algum modo de mostrar que a série 1/(n.logn) é divergente "sem
>utilizar o critério da integral indefinida"???
>Tentei por comparação com outras séries, pelo critério! de Cauchy, blá blá
>blá... e etc...
>
>Abraços
>
>Thiago Ferraiol
>
>obs: Por integral é simples de mostrar, mas acontece que peguei o livro de
>análise (vol1) do Elon, e >ele apresenta esse exercício antes de falar
>sobre integrais!
>

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