Re: [obm-l] Funções

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

--- rickufrj <rickufrj@bol.com.br> wrote:
> SE ALGUEM PUDER AJUDAR A RESOLVER OS SEGUINTES 
> PROBLEMMAS:
> 
> 1) UMA FUNÇÃO f EM R É DITA PERIÓDICA SE EXISTE T
> PARA 
> TODO X PERTENCENTE A R f(X+T)=f(X).O MENOR T COM
> ESSA 
> PROPRIEDADE É O PERÍODO DA FUNÇÃO . SE f(X) É 
> PERIÓDICA DE PERÍODO T , DETERMINE O PERÍODO DE G(X)
> = 
> f(aX + b).
Assumindo-se a<>0 e que f nao seja constante, o
periodo minimo de g eh T/a. De fato, para todo x em R
temos que g(x + T/a) = f(ax + T +b) = f(a*x +b) =
g(x), de modo que T/a eh periodo de g. Se T/a nao for
periodo minimo de g, entao g possui um periodo T'<T/a
e, para algum natural n>=2, temos que T/a = n*T'.
Logo, T' = T/(a*n)e g(x+T') = f(a*x + a*T' + b) =
f(a*x + T/n + b) = g(x) = f(a*x + b) para todo x em R.
 Para todo real u existe sempre um  real x tal que a*x
+ b = u, do que concluimos que f(u + T/n) = f(u) para
todo real u. Segue-se que T/n eh periodo de f e, como
n>=2, isto contraria a hipotese de T eh periodo minimo
de f. Logo, T/a eh periodo minimo de g    

> 2)SEJA f:[a,b] -> [a,b] QUALQUER . MOSTRE QUE EXISTE
> X 
> PERTENCENTE A [a,b] TAL QUE f(X) = X.
Isto eh verdade se f for continua em [a, b]. Se nao
for, a afirmacao eh falsa. 
Assumindo-se continuidade de f, definamos g:[a,b] -> R
por g(x) = x - f(x). Entao, g eh continua e apresenta
a propriedade do valor intermediario. Como f(x) estah
em [a,b] para todo x em [a,b], temos que g(a) =  a
-f(a) <=0 e g(b) = b - f(b) >=0. Se em uma destas
desigualdades tivermos igualdade, entao a condicao
desejada eh automaticamente atendida em a ou em b.
Caso contrario, g(a) <0, g(b)>0 e a continuidade de g
implica a existencia de algum x em (a,b) para o qual
g(x) =0, o que equivale a f(x) = x. Assim, em qualquer
caso existe x em [a,b] para o qual f(x) =x. 

O 3 fica para outra hora. Eh mais facil que os outros.
Artur



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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