Serve utilizar a noção de funções equivalentes (ou assintoticamente iguais)?
Isto é: se duas funções de leis f(x) e g(x) são tais que lim (f(x)/g(x)) =
1, quando x tende a um valor "a", então as funções f(x) e g(x) são
equivalentes, quando x tende ao a. Assim, por exemplo, numa vizinhança de 0,
senx é equivalente a x, assim como ln(1+x) é assintoticamente igual a x.
É elementar que: "o limite da razão entre dois infinitésimos (funções que
tendem a zero) não se altera se os membros forem substituídos por
infinitésimos equivalentes" (por exemplo, ver Problemas e Exercícios de
Análise Matemática - Demidovicth, da MIR, página 34). Desse modo, o
quociente procurado, nas proximidades de 0, é equivalente a:
(xcosx - x)/x^3, o qual, por sua vez, é igual a x(cosx - 1)/x^3, que é igual
a {2[sen(x/2)]^2}/x^2. Finalmente, a última razão pode ser vista como
(1/2){[sen(x/2)/(x/2)]^2, cujo limite, quando x tende a zero, é igual a 1/2
(limite procurado, de acordo com o teorema acima).
Espero ter contribuído com algum raciocínio,
Márcio.
TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI
CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE
Fields Medal(John Charles Fields)