Re: [obm-l] exercícios de topologia

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

--- Carlos bruno Macedo <cabrmacedo@hotmail.com>
wrote:
> Gostaria de ajuda nesses dois exercícios
> 
> Provar que
> 
> 1) O conjunto das matrizes n x n com determinante 1
> é um fechado ilimitado 
> com interior vazio em R^n x n
> 
> 2) As matrizes ortogonais n x n formam um
> subcontunto compacto de R^n x n
> 

2) O conjunto R^(n^2) eh Euclidiano, logo um
subconjunto do mesmo eh compacto se, e somente se, for
limitado e fechado (Teorema de Heine Borel).
Seja O o conjunto das matrizes ortogonais n x n. Se M
pertence a O, entao a norma de cada um de seus vetores
linha ou coluna eh 1(um conhecido fato da algebra
linear). Se definirmos a norma || de uma matriz como a
raiz quadrada da soma dos quadrados de seus termos,
entao ||M|| = sqrt(n) para toda M de O. Segue-se
automaticamente que O eh limitado.

Suponhamos agora que N seja uma matriz pertencente ao
fecho de O. Existe entao uma sequencia de matrizes
{N_n} em O que converge para N. A sequencia dos
vetores linha e coluna das matrizes de {N_n} converge,
portanto, para o correspondente vetor linha ou coluna
de N. 
A norma Euclidiana de um vetor do R^n eh uma funcao
continua de R^n em R. Assim, se {v_n} eh uma 
sequencia de vetores linhas ou colunas das matrizes de
{N_n}, temos que ||v_n|| -> ||v||, sendo v o
correspondente vetor de N. Mas como ||v_n|| =1 para
todo n, ||v_n|| ->1 e ||v|| =1. Todos os vetores linha
e coluna de N tem portanto norma 1. Da Algebra Linear,
isto implica que N seja ortogonal e pertenca a O. .
Logo, O confunde-se com o seu fecho e eh fechado.

Concluimos assim que O eh fechado e limitado, logo
compacto.
Artur     



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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