[obm-l] RE: [obm-l] exercícios de topologia

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

1) Seja X o conjunto das matrizes n x n com determinante 1.Existem varia
formas d se definir a norma de uma matriz. Definamos, neste caso, como a
raiz quadrada da soma dos quadrados dos termos.
A funcao Det:R^n x n -> R eh dada por uma soma de n! produtos de n numeros
reais. Logo eh continua em todo R^n x n e sua imagem eh todo R. O conjunto X
eh a imagem inversa atraves de Det do conjunto fechado {1} de R. Temos,
portanto, que X e fechado.
Seja agora X' o aberto complementar de X e seja m uma matriz qualquer n x n.
Se Det(M)<>1, entao M estah em X' e toda vizinhaca de M intersecta X',
havendo inclusive uma contida em X'.
Se Det(M)=1, entao qualquer vizinhanca de M tambem intersecta X'. Uma forma
facil de ver isso eh, para o real h, considerarmos as matrizes da forma
N(h), tal que seu primeiro termo N_1_1 seja N_1_1 + M_1_1 + h e tal que
todos os outros termos igualem-se aos termos correspondentes de M. Entao
Det(N(h)) - Det(M)  = Det(N(h)) - 1 varia linearmente com h e Det(N(0)) =
det(M) =1. Para h<>0, det(N(h)) <>1, e fazendo-se |h| suficientemente
pequeno fazemos com que ||N(h) - M|| seja tao pequeno quando se queira.
Logo, toda vizinhanca de M intersecta X'. 
Tmos portanto que X' eh denso em R^n x n, o que implica que X tenha interior
vazio. 
O fato de que X eh ilimitado decorre imediatamente do fato de que Det(M) eh
uma soma de n! produtos cada um composto por variaveis reais. Deixemos, por
exemplo, variar apenas dois termos que estejam numa mesma coluna, como o
M_1_1 =x e o M_2_1 = y. Entao, a restricao de Det ao conjunto de tais
matrizes eh da forma Det(M) = a*x + b*y + c. Fazendo-se |x| tao grande
quanto se queira, sempre podemos encontrar y tal que Det(M) =1. Logo, X eh
ilimitado

O problema (2) fica para outra ora, se eu conseguir resolver. De qualquer
forma, aguem certamente conseguirah.
Artur 
     

   

>-----Original Message-----
>From: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br] On
>Behalf Of Carlos bruno Macedo
>Sent: Thursday, April 08, 2004 7:19 PM
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: [obm-l] exercícios de topologia
>
>Gostaria de ajuda nesses dois exercícios
>
>Provar que
>
>1) O conjunto das matrizes n x n com determinante 1 é um fechado ilimitado
>com interior vazio em R^n x n
>
>2) As matrizes ortogonais n x n formam um subcontunto compacto de R^n x n
>
>
>Desejo feliz páscoa a todos
>
>Carlos
>
>_________________________________________________________________
>MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil.  http://www.hotmail.com
>
>=========================================================================
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=========================================================================


=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================