Re: [obm-l] PG

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Guilherme,

Não se preocupe, nenhum problema é bobo até que você saiba como resolvê-lo.
Certa vez, comentei algo semelhante sobre os problemas chamados de triviais
se distinguirem dos não-trivais somente pelo fato destes nunca terem sido
resolvidos por alguém... ;-)

Vamos aos exercícios. O modo de resolução do primeiro usa um artifício bem
conhecido, que é representar três termos de uma P.G. (ou P.A.) em função do
termo do meio, assim:

P.G.:  a/q, a, a*q
P.A.:  a - r, a, a + r

Depois de conhecido esse artifício, o que nos resta são as contas:

a/q + a + aq = 21/8   (I)
(a/q)^2 + a^2 + (a*q)^2 = 189/64   (II)

Elevando (I) ao quadrado e substituindo (II):

189/64 + 2(a^2/q + a^2 + a^2q) = 441/64
2a(a/q + a + aq) = (441-189)/64 = 63/16
2a(21/8) = 63/16
a*21/4 = 63/16
a = 3/4

Voltando 'a' em (I):

(3/4)/q + 3/4 + (3/4)q = 21/8
3/(4q) + 3q/4 = (21-6)/8 = 15/8
3 + 3q^2 = (15*4q)/8 = 15q/2
2q^2 - 5q + 2 = 0

D = 25 - 4*2*2 = 9
q = (5 +- 3)/4 ==> q = 1/2 ou q = 2

q = 1/2 ==> (..., 3/2, 3/4, 3/8, ...)  ==> P.G. decrescente e convergente
q = 2 ==> (..., 3/8, 3/4, 3/2, ...)  ==> P.G. crescente


Já o exercício 2 se assemelha muito ao exercício 2 de P.A. que você mandou
ontem. Dê uma comparada depois.

a1 + a2 = 12
a3 + a4 = 300

Novamente, colocando os termos em função de a1 e da razão q:

a1 + a1q = 12 <==> a1(1 + q) = 12
a1q^2 + a1q^3 = 300 <==> a1q^2(1 + q) = 300


ATENÇÃO: vou dividir a segunda equação pela primeira, mas tão somente por
saber que a1 é diferente de zero (se fosse zero, a soma dos dois primeiros
termos não poderia ser 12 qualquer que fosse a razão). Também se pode
garantir que (1+q) <> 0, pois se (1+q) = 0, isto é, q = -1, então a soma de
dois termos consecutivos seria nula:

a1*(-1) + a1*(-1)^2 = 0

Sabemos que isso não é verdade do enunciado, então podemos dividir com
tranqüilidade:

q^2 = 25 ==> q = 5 ou q = -5

q = 5 ==> a1 = 2 ==> (2, 10, 20, 40, ...)  P.G. crescente
q = -5 ==> a1 = -3 ==> (-3, 15, -75, 375, ...)  P.G. alternante


Abraços,

Rafael de A. Sampaio





----- Original Message -----
From: Guilherme Teles
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, April 07, 2004 8:07 PM
Subject: [obm-l] PG


1 - Determine tres numeros reais em PG de modo que sua soma seja 21/8 e a
soma de seus quadrados seja 189/64

2 - Obtenha a PG de quatro elementos em que a soma dos dois primeiros é 12 e
a soma dos dois ultimos é 300

Caros colegas de lista, sei que parecem bobos, mas faz 3 anos que não toco
em materia de 2 grau.

Fico agradecido e humildemente agradeço de coração a colaboração e atenção
que todos tem cedido.

Sds,
Guilherme Teles
Belem - PA



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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