Re: [obm-l] Geometria

["Rafael" <cyberhelp@xxxxxxxxxx>]

Artur,

Antes de resolver os problemas que você propôs, devo elogiá-lo pelo bom
gosto, pois eles são realmente muito *bonitinhos*! ;-)

Pela figura 1, se o ponto P estiver mais próximo de M ou N, então RS não
será mais tangente a C.  Assim, P é único para as condições do problema, tal
que o triângulo ARS é semelhante ao ABC (AA~) e 2p/2P = k, sendo 2p o
perímetro do triângulo ARS, 2P o perímetro do triângulo ABC e k a razão de
semelhança. (Espero que isso seja suficiente para mostrar o que o problema
pede.)

Sobre o problema 2 e pela figura 2, sabemos que:

2R1 = 2R2 + 2R3 <==> R1 = R2 + R3

Assim, C1T = R2 - R3.

Ligando C1 a uma das extremidades do segmento t, pelo Teorema de Pitágoras,
teremos:

(R2 - R3)^2 + (t/2)^2 = R1^2 = (R2 + R3)^2
-2 * R2 * R3 + t^2/4 = 2 * R2 * R3
2 * R2 * R3 = t^2/8

A área S será dada por:

S = Pi * R1^2 - Pi * R2^2 - Pi * R3^2
S = Pi * (R1^2 - R2^2 - R3^2)
S = Pi * ((R2 + R3)^2 - R2^2 - R3^2)
S = Pi * 2 * R2 * R3
S = Pi * t^2 / 8


Um forte abraço,

Rafael de A. Sampaio





----- Original Message -----
From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@yahoo.com>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Tuesday, April 06, 2004 12:34 PM
Subject: [obm-l] Geometria


Muitos aqui gostam de Geometria. Eu, que nunca foi bom
nela, acho estes problemad do vestibular de 1970, RJ,
muito bonitinhos:

1)Considemos um triangulo ABC e o circulo C nele
inscrito. Sejam M e N os pontos em que C tangencia os
lados AB e AC, respectivamente. A partir de um ponto
P, localizado sobre o arco MN e distinto de M e de N,
tracemos a tangente a C, a qual intersecta os lados AB
e AC nos pontos R e S.  Mostre que o perimetro do
triangulo ARS independe de P.

2) Considere os circulos C1, C2 e C3, tais que C2 e C3
sao interiores a C, tangentes entre si e tangentes a
C. Seja t o segmento situado sobre a tangente comum a
C2 e C3 e delimitado pelas interseccoes desta tangente
com C. Seja S a area da regiao do plano de C interior
a C e exterior a C2 e a C3. Determine S conhecendo t.

Estes problemas sao faceis. Prova: Eu os resolvi no
vestibular.

Artur

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