Re: [obm-l] conjuntos fechados

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Na realidade, nesta prova o que eu fiz foi tomar a
contra positiva da afirmacao "Se P eh um subconjuto
perfeito de R^n, entao P naum eh enumeravel". O
trabalho estah, na realidade, em provar tal fato, que
eu jah admiti como conhecido.

Seja P um subconjunto perfeito de R^n e X = (x_1,
x_2....x_n...} uma enumeracao qualquer de seus
elementos. Precisamos mostrar que X naum engloba a
totalidade de P.
Seja a um elemento de P arbitrariamente escolhido e V
uma vizinhanca limitada de a (por exemplo, uma bola
aberta). Entao, V contem uma infinidade de elementos
de P, pois a eh ponto de acumulacao de P. Escolhamos
agora uma vizinhanca V_1 de a, contida em V, cujo
fecho V*_1 naum contenha x_1 (para isto, basta
escolher em V um elemento distinto de x1 - hah
infinitos - e construir em torno dele uma bola de raio
suficientemente pequeno). De modo indutivo, suponhamos
escolhidas vizinhancas encaixadas V_1,....V_n, de
elementos de P, tais que, para todo i=1,...n, x_i nao
pertenca ao fecho de V_i. V_n eh vizinhanca de algum
elemento de P e, portanto, contem uma infinidade de
elementos de P. Escolhamos um distinto de x_n+1 e,
atraves do mesmo processo citado na base da inducao,
escolhamos uma vizinhanca V_n+1 deste elemento,
contida em V_n e tal x_n+1 naum pertenca a V*_n+1.
Isto completa o processo indutivo e mostra existir uma
sequecia {V_n} de vizinhancas encaixadas de elementos
de P tais que, para cada n, x_n naum pertence a V*_n.
Consideremos agora sequencia de conjuntos {F_n} =
{V*_n inter P}. Eh imediato que esta eh uma sequencia
encaixada de conjuntos nao vazios - cada V_n
intersecta P, de modo que o mesmo se verifica para
V*_n. Como cada V*_n eh compacto - eh fechado e
limitado (Heine Borel) - e P eh fechado, temos que
cada F_n eh compacto. Logo {F_n} eh uma sequencia
encaixada de conjuntos compactos e nao vazios de R^n,
o que implica na existencia de um elemento x comum a
todos os F_n. Por construcao, x pertence a P e, pela
construcao da sequencia de vizinhancas {V_n}, nenhum
elemento da enumeracao X eh comum a todos os F_n.
Logo, P contem um elemento naum englobado em X. Como a
enumeracao X eh arbitraria, concluimos que nenhuma
enumeracao de elementos de P o cobre em sua totalidade
e que P, portanto, naum eh enumeravel.

Esta conclusao eh um caso particular de uma outra mais
geral: Se X eh um espaco de Hausdorff compacto que nao
contenha pontos isolados, entao X naum eh enumeravel. 

Artur

PS. Eu acho que enviei acidentalmente uma mensagem
incompleta         

--- Artur Costa Steiner <artur@opendf.com.br> wrote:
> Seja F um conjunto fechado e enumeravel de R^n. Se
> todo elemento de F for
> ponto de acumulacao do mesmo, entao F eh perfeito
> (um conjuto eh perfeito se
> for fechado e todos seus elementos forem pontos de
> acumulacao do mesmo). Em
> razao disto, F, contrariamente aa hipotese, naum eh
> enumeravel (em R^n,
> conjuntos perfeitos naum sao enumeraveis). Logo, F
> contem um elemento que
> naum eh ponto de acumulacao dele e, desta forma, eh
> um ponto isolado.
> Artur
> 
> --------- Mensagem Original --------
> De: obm-l@mat.puc-rio.br
> Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Assunto: [obm-l] conjuntos fechados
> Data: 31/03/04 18:01
> 
> Alguém podia me mostrar que em R^n todo conjunto
> fechado enumerável possui 
> algum ponto isolado.
> 
> Desde já agradecido
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