[obm-l] Graficos de funcoes - de novo

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Tantos problemas bonitos circulando nesta lista e naum
tenho tempo para ler...

Sobre Topologia ou Analise eu gostaria de generalizar
aquele teorema sobre graficos de funcoes que acho que
o Tertuliano comentou no caso de espacos metricos.

Teorema:

=> Sejam X e Y espacos topologicos, Y Hausdorff. Se
f:X-> Y for continua, entao G, o grafico de f, eh
fechado em X x Y (com a topologia produto). 

<= Sejam X e Y espacos topologicos, Y compacto. Se o
grafico de f:X-> Y for fechado em X x Y (topologia
produto), entao f eh continua.

<= nao eh exatamente a reciproca de =>, pois relaxamos
a hipotese de Y seja Hausdorff e aacrescentamos a
hipotese de Y eh compacto.
Aquelas provas que apresentei na outra mensagem naum
servem para este caso mais geral, porque se baseavam
em propriedades sequenciais especificas de espacos
metricos e de alguns espacos topologicos particulares.

Uma possivel prova:

=> Seja (x,y) um elemento do fecho de G e seja V1 uma
vizinhanca qualquer de f(x) em Y. A continuidade de f
acarreta,em X, a existencia de uma vizinhanca U tal
que f(u) peretence a V1 para todo u em U. Seja agora
V2 uma vizinhanca qualquer de y em Y.  Temos entao que
W = U x V2 eh uma vizinhanca basica de (x,y) em X x Y.
Como (x,y) estah no fecho de G, W intersecta G,
existindo assim um elemento s em U tal que f(s) estah
em V2. Mas como s estah em U, f(s) estah em V1, logo
f(s) estah em V1 inter V2 e V1 inter V2 nao eh vazio.
Como V1 e v2 sao arbitrarias, concluimos que toda
vizinhanca de f(x) intersecta toda vizinhanca de y,
disto decorrendo, pela condicao de Hausdorff, que y =
f(x). Logo, (x,y) pertence a G, o que nos mostra que G
contem os pontos de seu fecho e eh, portanto, um
conjunto fechado.

<= Utilizaremos o lema de que, se X e o compacto Y sao
espacos topologicos e Px eh a projecao de X x Y sobre
X, entao Px eh um mapeamento fechado.

Seja x0 um elemento generico de X e V uma vizinhanca
qualquer de f(x0) em Y. Temos entao que X x V eh um
elemento basico, logo aberto, da topologia produto
definida em X x Y. Seja F o complementar de X x V. F
eh fechado em X x Y e eh dado por F = X x (Y-V). Como
G, por hipotese, eh fechado, segue-se que H = F inter
G eh tambem fechado. Das definicoes de F e de G,
decorre que H = {(x,y) em X x Y | y = f(x) e y esta em
Y-V}. Considerando-se, agora, que Y eh compacto e H eh
fechado, o lema citado no inicio da demonstracao
implica que Px(H) seja um subconjunto fechado de X. Da
definicao de H, temos entao que Px(H) = (x em X | f(x)
estah em Y-V}. Sendo U o complementar de Px(H), temos
que U eh aberto, contem x0 (o que garante que nao seja
vazio e seja, assim, uma vizinhanca de x0) e eh dado
por U = {x em X | f(x) estah em V}. Dito de outra
forma, isto significa que, para toda vizinhanca V de
f(x0), existe uma vizinhanca U de x0 tal que f(x)
estah em V para todo x em U. Ou seja, f eh continua em
x0. E como x0 eh arbitrario, concluimos que f eh
continua em X.

Um corolario das conclusoes citadas (que naum me
parece muito interessante, visto que restritivo) eh: 

Sejam X um espaco topologico, Y um espaco de Hausdorff
compacto e f uma funcao de X em Y. f eh continua se, e
e somente se, o grafico de f for fechado em X x Y. 

Artur

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