Re: [obm-l] Simplificação

[Ricardo Bittencourt <ricbit@xxxxxxxxxxxx>]

Fábio Bernardo wrote:

> Simplifique a fração:
> (2^31+3^31)/(2^29+3^29)

	Ao invés de mexer nesse problema, eu resolvi encarar
uma generalização: simplificar a fração

	(a^(n+2)+b^(n+2))/(a^n+b^n), com n ímpar.

	Vou provar que a^n+b^n, n ímpar, é divisível por a+b,
por indução completa.

	Pra n=1, (a+b)=1.(a+b) e pronto.

	No caso geral, supondo válido até n-2:

	a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1))-ab(a^(n-2)+b^(n-2))

	Mas pela hipótese de indução
	(a^(n-2)+b^(n-2))=(a+b)k

	Logo a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1)-abk)

	Com isso eu mostrei que (a+b) divide a fração
original no numerador e no denominador, mas alguém sabe
como mostrar que o que sobra é irredutível ? Ou seja,
que mdc(a^(n+2)+b^(n+2),a^n+b^n)=(a+b) ?

----------------------------------------------------------------
Ricardo Bittencourt                   http://www.mundobizarro.tk
ricbit@700km.com.br           "tenki ga ii kara sanpo shimashou"
------ União contra o forward - crie suas proprias piadas ------
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================