Re: [obm-l] Análise_Funcional

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxxxx>]

Naum sei se eh exatamente isto que vc quer, estou
interpretando que se deva mostrat que toda sequencia 
absolutamente somavel eh smavel. Ou seja, se uma
sequencia eh absolutamente convergente, entao a
sequencia eh convergente.

Suponhamos que em um espaco de Banach {a_n} seja
absolutamente convergente, isto eh, {Soma|a_n|} seja 
convergente. Entao, a sequencia das somas parciais de
{|a_n|} eh de Cauchy. Dado eps>0, existe portanto um
natural k tal que, para todos naturais m>=n, m,n>=k, |
|a_n|...+ |a_m| | = |a_n|...+ |a_m| < eps. Aplicando a
desigualdade triangular, concluimos que, para tais m e
n, temos |a_n + ...a_m| <= |a_n|...+ |a_m| < eps, do
que concluimos que {Soma a_n} eu uma sequencia de
Cauchy. Como espacos de Banach sao, por definicao,
espacos metricos completos com relacao aa metrica
associada aa norma neles definida, temos que {Soma
a_n} eh convergente, ou seja {a_n} eh somavel.

Um exemplo de que a reciproca naum eh verdadeira
ocorre em R com a sequencia {1, -1/2, 1/3, -1/4.....}.
A sua soma converge para ln(2), mas a serie associada
aos valores absolutos dos termos da sequencia eh a
serie harmonica, que diverge, indo para infinito.

Artur 

--- Ana Carolina Boero <acboero@hotmail.com> wrote:
> Boa tarde, colegas da lista.
> Gostaria de alguma ajuda para resolver o seguinte
> problema:
> 
> Seja (E, || . ||) um espaço de Banach. Prove que
> toda família de elementos de E absolutamente somável
> é somável. Dê um exemplo mostrando que uma família
> somável não é, necessariamente, absolutamente
> somável.
> 
> Obrigada,
> Ana Carolina.
> 


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