Re: [obm-l] Integral - Cardióde

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] Integral - Cardióde

on 23.03.04 12:34, Roney Kevin at roneykevin@yahoo.com.br wrote:

> Agradeço a Johann Peter por ter tentado me ajudar.
> No entanto, mesmo assim não consegui fazer a questão
> ..............................................................................................
>    achar o volume do corpo formado pela rotação da cardióde r = a(1+cos teta) em torno do eixo polar.
> ................................................................................................
>
> Estou pagando Calculo I, to terminando o semstre agora. Sendo que o professor passou uma lista de questões como a mostrada acima. O problema é que eu fui pedir ajuda a ele e ele mesmo se enrolou não acertou fazer. Vasculhei na internet pra ver se conseguia encontrar algo que me ajudasse, porém o melhor q consegui foi um site q me fornecia uma fórmula para calcular o volume envolvendo coordenadas polares, ate ai otimo se nao fosse o detalhe de q  a formúla usa integral dupla e ate  agora em Calculo I so vemos ate a integral unica.
> Sei q o objetivo da lista não e pra tratar de problemas como o meu, no entanto apela a vcs(tipo off-topic) por nao ter mais ninguem pra pedir ajuda.
>  
> Será q essa questao realmente dá pra fazer usando apenas uma integral?
>  
> Por favor quem poder me ajudar eu agradeço,
> Roney Kevin
>
> ***********
>
> Oi, Roney:
>
> Esse problema eh mais interessante do que a maioria dos que aparecem na lista e a ideia do Dirichlet de usar o teorema de Pappus me parece a mais simples. Tambem acho lamentavel o seu professor passar um problema que ele mesmo nao consegue fazer. Isso pode acontecer a nivel de mestrado ou doutorado, mas em Calculo I?....
>
> A area que vai ser rodada em torno do eixo polar eh a metade de cima da cardioide, ou seja, a area delimitada pelo eixo polar e pela curva R = a*(1 + cos(t)) com t variando de 0 a Pi.
>
> Seja A esta area (igual a metade da area da cardioide).
> Seja d a distancia do baricentro dessa metade ao eixo polar.
>
> Entao, V = 2*Pi*d*A.
>
> Mas d*A pode ser calculado por meio de uma integral dupla, como se segue:
>
> O elemento de area em coordenadas polares eh:
> dA = R*dR*dt  (t = angulo).
>
> Voce quer integrar y*dA sobre a metade de cima da cardioide, onde y eh a distancia vertical do baricentro de dA ateh o eixo polar.
> Se este baricentro tem coordenadas (R,t), entao y = R*sen(t).
>
> Os limites de integracao sao simples de se determinar:
> Para cada t entre 0 e Pi, integre os dR de R = 0 a R = a*(1 + cos(t)), ou seja, da origem ateh a borda da cardioide.
> Depois, integre os dt de t = 0 a t = Pi.
>
> Logo, a integral de que falamos eh a seguinte:
> Int( t = 0...Pi ; R = 0...a*(1+cos(t)) ) y*dA =
> Int( t = 0...Pi ; R = 0...a*(1+cos(t)) ) R*sen(t)*R*dR*dt =
> Int( t = 0...Pi ) sen(t)*( Int( R = 0...a*(1+cos(t)) ) R^2*dR )*dt =
> Int( t = 0...Pi ) sen(t)*(a^3/3)*(1+cos(t))^3*dt
>
> Agora, faca a mudanca de variavies u = 1+cos(t).
> Entao, teremos:
> du = -sen(t)*dt
> t = 0 ==> u = 2; t = Pi ==> u = 0
>  
> Logo, a integral (sobre u) ficarah:
> Int( u = 2...0 ) (a^3/3)*u^3*(-du) =
> (a^3/3)*Int( u = 0...2 ) u^3*du =
> (a^3/3)*(16/4 - 0/4) = 
> 4*a^3/3.
>
>  Ou seja d*A = 4*a^3/3 e, portanto:
>  V = 2*Pi*d*A = 8*Pi*a^3/3.
>
>
> []s,
> Claudio.