Re: [obm-l] problema estatistico - trigonometrico

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

on 21.03.04 18:24, niski at fabio@niski.com wrote:

> É dado que X ~ U[-pi, pi] e considere as v.a Y = senX , Z = cosX
> Pergunta: As v.a Y,Z são independentes?
> 
> Bem, creio que preciso provar que para qualquer a e b
> P(Y <= a, Z <= b) = P(Y <= a)*P(Z <= b) se valer são independentes, se
> existir um contra exemplo elas não são.
> 
> Pensando em algums exemplos como por exemplo
> P(Y <= 0) = P(-PI <= X <= 0) = PI*(1/2*PI) = 1/2
> 
> P(Z <= 1/2) = P(-PI <= X <= -PI/3) + P(PI/3 <= X <= PI) =
> 2*(2*PI/3)*(1/2*PI) = 2/3
> 
> P(Y <= 0, Z <= 1/2) = P(-PI <= X <= -PI/3) = 1/3
> 
> Me parece que sao independentes...mas como provar genericamente que para
> qualquer a e b a relacao vale? Tentei por trigonometria mas parece que
> nao saiu nada. Alguem tem ideias? Solucoes?
> 
> Obrigado

Oi, Niski:

Eu diria que elas nao sao, pois vale Y^2 + Z^2 = 1 sempre.

Por exemplo, tome a = b = -0,9.
Entao, -1 <= sen(X) <= -0,9 e -1 <= cos(X) <= -0,9 ==>
1,82 <= sen^2(X) + cos^2(X) <= 2 ==>
P(sen(X) <= -0,9 e cos(X) <= -0,9) = 0.

Por outro lado, P(cos(X) <= -0,9) e P(sen(X) <= -0,9) sao ambas positivas.

[]s,
Claudio.

 




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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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